Question

En un estudio dental sobre niños se obtuvo que la probabilidad de la población infantil que tiene alguna caries es de 2/3, ¿cuál es la probabilidad de encontrar a 5 niños con caries con el quinceavo niño examinado?

Answer 1

La probabilidad de encontrar a 5 niños con caries con el quinceavo niño examinado es de 0.0067.

Explicación:

Definimos la variable aleatoria    X    que es igual al número de ensayos donde el resultado es un éxito, tiene una distribución binomial con parámetros p y n = 1, 2, 3, ...

La Probabilidad de X = x es

$\bold{P(X~=~x)~=~(\begin{array}{c}n\\x\end{array})~p^x~(1~-~p)^{(n~-~x)}}$

donde   $(\begin{array}{c}n\\x\end{array})$   es el número combinatorio:

$\bold{(\begin{array}{c}n\\x\end{array})~=~\dfrac{n!}{(n~-~x)!~x!}}$

En el caso estudio      

x    es el número de niños con caries en la muestra

p    es la probabilidad de tener caries  (éxito)  que es  2/3

n    es el tamaño de la muestra    n  =  15

La probabilidad de encontrar  5  niños con caries en una muestra de  15  es:

$\bold{P(X~=~5)~=~(\begin{array}{c}15\\5\end{array})~(\dfrac{2}{3})^5~(1~-~\dfrac{2}{3})^{(15~-~5)}\qquad\Rightarrow}$

$\bold{P(X~=~5)~=~[\dfrac{15!}{(15~-~5)!~5!}]~(\dfrac{2}{3})^5~(\dfrac{1}{3})^{(10)}~=~0.0067}$

La probabilidad de encontrar a 5 niños con caries con el quinceavo niño examinado es de 0.0067.