Question

Se intenta vajar un piano de un apartamento a una altura de 4,5 metros, si uno de ayudantes empuja el piano de forma horizontal provocando que caiga a 2 metros de la edificacion cuando toca el suelo.
a. Con que velocidad el ayudante enpujo el piano.
b. Cuanto tiempo tardo el piano en tocar el suelo.
c.Cual es la velocidad total del piano justo antes de tocar le suelo.​

Answer 1

a) La velocidad inicial del piano fue de 2.10 metros por segundo (m/s), luego este fue empujado por el ayudante a esa velocidad

b) El tiempo de vuelo del piano fue de 0.95 segundos, siendo ese tiempo lo que demoró en llegar al suelo

c) La velocidad resultante con la que cae el piano al suelo es de 9.73 metros por segundo (m/s)

Se trata de un problema de tiro horizontal

El tiro horizontal consiste en lanzar un cuerpo horizontalmente desde cierta altura.

Teniendo una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, que es la gravedad

Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en su trayectoria horizontal o eje horizontal y un movimiento uniformemente variado (MRUV) en su trayectoria vertical o en el eje vertical

Al inicio del movimiento el proyectil solo posee una velocidad horizontal $\bold { V_{x} }$ debido a que carece de ángulo de inclinación, por lo tanto no presenta velocidad vertical inicial o sea que $\bold { V_{y} = 0 }$, luego esa velocidad se va incrementando a medida que el proyectil desciende.

SOLUCIÓN

a) Hallamos la velocidad con que fue empujado el piano

Primero calculamos el tiempo de vuelo del piano

$\large\textsf{Tomamos un valor de gravedad } \ \ \ \bold {g=10 \ \frac{m}{s^{2} } }$

Considerando la altura H desde donde ha sido lanzado $\bold {H= 4.5\ m }$

$\large\boxed {\bold { y =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\bold{y= 0}$

$\large\boxed {\bold { 0 =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\large\textsf{Donde despejamos el tiempo }$

$\boxed {\bold { 2 \ H =g \ .\ t^{2} }}$

$\boxed {\bold { t^{2} = \frac{2 \ H}{g } }}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2 \ H }{g } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2\ . \ 4.5 \ m }{10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{ 9 \not m }{10 \ \frac{\not m}{s^{2} } } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{0.9 \ s^{2} } } }$

$\boxed {\bold { t = 0.948683 \ segundos } }$

$\large\boxed {\bold { t = 0.95 \ segundos } }$

El tiempo de vuelo del piano fue de 0.95 segundos

Conociendo ahora el tiempo de vuelo del cuerpo podemos determinar la velocidad con que fue empujado el piano

Luego hallamos la velocidad con la cual el piano fue lanzado

Dado que conocemos a que distancia de la edificación cayó el piano, luego sabemos su alcance máximo $\bold { x_{MAX} = 2 \ m}$

$\boxed {\bold { x_{MAX} =V_{0x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { x_{MAX} =V_{x} \ . \ t }}$

Donde como en el eje x se tiene un MRU despejamos la velocidad inicial

$\boxed {\bold { V_{0} = \frac{ x_{MAX} }{t} }}$

$\boxed {\bold { V_{0} = \frac{ 2 \ m}{ 0.95\ s} }}$

$\large\boxed {\bold { V_{0} =2.10\ \frac{m}{s} }}$

La velocidad inicial del piano fue de 2.10 metros por segundo (m/s)

b) Se nos pregunta cuánto tiempo tardó el piano en llegar al suelo

El tiempo que tardó el piano en llegar al suelo está determinado por el tiempo de vuelo del cuerpo que hallamos en el inciso anterior

Luego el piano demoró 0.95 segundos en llegar al suelo

c) Hallamos la velocidad total del piano para su caída

1) Establecemos el vector velocidad para el tiempo de vuelo de  0.95 segundos

Para el eje x - horizontal

Dado que en el eje X se tiene un MRU, la velocidad permanece constante en toda la trayectoria. Tomamos el valor de la velocidad inicial que hallamos

$\boxed {\bold { {V_x} =V_{0x} }}$

$\large\boxed {\bold { {V_x} =2.10 \ \frac{m}{s} }}$

Para el eje y - vertical

Dado que en el eje Y se tiene un MRUV, la velocidad depende de la gravedad y el tiempo

En este movimiento no hay velocidad inicial en el eje Y o vertical $\bold { V_{y} = 0 }$

$\boxed {\bold { V_{y} =g\ . \ t }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { V_{y} =-10 \ \frac{m}{s^{\not 2} } \ . \ 0.95 \not s }}$

$\large\boxed {\bold { V_{y} =-9.50\ \frac{m}{s} }}$

La velocidad total del piano en su caída se obtiene hallando la velocidad resultante de las componentes horizontal y vertical empleando el teorema de Pitágoras

$\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{T} }| = \sqrt{(V_{x} )^{2} +(V_{y} )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{\left(2.10 \ \frac{m}{s} \right)^{2} +\left(-9.50 \ \frac{m}{s}\right )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{4.41 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } +90.25 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{94.66 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = 9.729337 \ \frac{m}{s} }}$

$\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = 9.73 \ \frac{m}{s} }}$

La velocidad con la que cae el piano al suelo es de 9.73 metros por segundo (m/s)

Se agrega gráfica que evidencia la trayectoria del movimiento