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Nació en la ciudad de San Juan Bautista, Misiones, en Paraguay. Fue miembro de una numerosa familia con gran interés en la música. Prueba de ello es que sus siete hermanos tocaban un instrumento cada uno y formaban la Orquesta Barrios. Su padre fue el argentino Doroteo Barrios, cónsul de su país en Misiones, y su madre, Martina Ferreira, profesora (directora) de la escuela de niñas de Villa Florida.
Hasta los trece años Agustín tocaba en la Orquesta Barrios y un día de 1898, luego de un concierto, se acercó Gustavo Sosa Escalada y lo acogió como su alumno en el Ateneo Paraguayo (entonces llamado Instituto Paraguayo), donde fue introducido formalmente al estudio de la guitarra clásica. Bajo la influencia de su maestro, Barrios pasó a estudiar las obras más conocidas de los compositores más importantes de guitarra clásica hasta ese momento, como Francisco Tárrega, José Viñas Díaz, Fernando Sor, Dionisio Aguado, Julián Arcas y Joaquín Parga. Sosa Escalada estaba tan impresionado con su nuevo alumno que convenció a los padres del joven Agustín para que lo dejasen mudarse a Asunción para continuar su educación musical y académica en el Colegio Nacional de la Capital, donde tuvo como instructor a Nicolino Pellegrini, y donde, además de música, estudió matemáticas, periodismo y literatura.