Question

hallar por definicion la siguiente derivada

Answer 1

$x(t)=\dfrac{At+B}{Ct+D}$

Recordemos la definición de la derivada (solo la parte que nos interesa)

$\dfrac{dx}{dt}=\lim\limits_{t\to t_0}\dfrac{x(t)-x(t_0)}{t-t_0}\\ \\ \texttt{o}\\ \\ \dfrac{dx}{dt}=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{x(h+t_0)-x(t_0)}{h}\\ \\ \\ \texttt{Entonces}\\ \\ \dfrac{dx}{dt}=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\dfrac{A(h+t_0)+B}{C(h+t_0)+D}-\dfrac{At_0+B}{Ct_0+D}}{h}$

$\dfrac{dx}{dt}=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{ [A(h+t_0)+B](Ct_0+D)-(At_0+B)[C(h+t_0)+D]}{h[C(h+t_0)+D](Ct_0+D)}\\ \\ \\ \texttt{Haciendo operaciones en el numerador...}\\ \\ \dfrac{dx}{dt}=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{ h(AD-BC)}{h[C(h+t_0)+D](Ct_0+D)}\\ \\ \\ \dfrac{dx}{dt}=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{ AD-BC}{[C(h+t_0)+D](Ct_0+D)}\\ \\ \\ \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{ AD-BC}{(Ct_0+D)(Ct_0+D)}\\ \\ \\ \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{ AD-BC}{(Ct_0+D)^2}$

Observación: entiéndase a $\dfrac{dx}{dt}$ como la derivada de la función $x:D\subset \mathbb R \longrightarrow \mathbb R$ en el punto $x=x_0\in D$, donde $D$ es un conjunto abierto en el cual la función susodicha es derivable