En clase de educación física un estudiante lanza una pelota hacia arriba y mide que el tiempo total de subida y bajada es 5 s. Con esta información debe calcular: ¿Cuál es la distancia que recorrió la pelota únicamente el trayecto de bajada?
Respuestas
Respuesta:
Explicación:
Tenemos que:
x(t) = R t
2
t
e
x
2
dx
Usando el teorema fundamental del c´alculo tenemos que sea F(u) tal que:
dF(u)
du = e
u
2
entonces tenemos que:
x(t) = F(t
2
) − F(t)
De este modo:
v(t) =
d(x(t))
dt =
d
dt
F(t
2
) − F(t)
=
dF(t
2
)
dt −
dF(t)
dt =
dF(t
2
)
d(t
2)
! d(t
2
)
dt !
−
dF(t)
dt !
= 2t
dF(t
2
)
d(t
2)
!
−
dF(t)
dt !
Ahora notemos que usando que:
dF(u)
du = e
u
2
, entonces:
dF(t
2
)
d(t
2)
=
dF(u)
d(u)
= e
u
2
si es que tomamos u = t
2
. De este modo: e
u
2
= e
t
4
De este modo:
dF(t
2
)
d(t
2)
= e
t
4
Ahora tambi´en tenemos que:
4
dF(t)
dt = e
t
2
De esta manera:
2t
dF(t
2
)
d(t
2)
!
−
dF(t)
dt !
= 2t · e
t
4
− e
t
2
Finalmente:
v(t) = 2t · e
t
4
− e
t
2
Ahora tenemos que:
a(t) =
dv(t)
dt =
d
dt
2t · e
t
4
− e
t
2
= 2
d
dt
t · e
t
4
−
d(e
t
2
)
dt = 2 " dt
dt!
e
t
4
+ t ·
det
4
dt !# −
d(e
t
2
)
d(t
2)
! d(t
2
)
dt !
= 2 "
e
t
4
+ t ·
d(e
t
4
)
d(t
4)
! d(t
4
)
dt !# − 2t · e
t
2
= 2 h
e
t
4
+ t · e
t
4
4t
3
i
− 2t · e
t
2
= 2 · e
t
4
+ 8 · t
4
e
t
4
− 2t · e
t
2
De este modo:
a(t) = 2 · e
t
4
+ 8 · t
4
e
t
4
− 2t · e
t
2
Problema 4.
Determine las ecuaciones de la aceleraci´on, velocidad y posici´on para una part´ıcula que se mueve con velocidad
constante. Considere t0 = 0[s], x(t0) = x0. Para esto recuerde que:
a(t) =
dv(t)
dt
x(t) − x(t0) = Z t
t0
v(u)du
Soluci´on:
Como la velocidad es contante diremos que: v(t) = v . Ahora:
5
a(t) =
dv(t)
dt = 0. De este modo: a(t) = 0
Considerando que: x(t0) = x0, entonces tenemos que:
x(t) − x0 =
Z t
0
v(u)du =
Z t
0
vdu = v uit
0
= vt
As´ı tenemos que: x(t) − x0 = vt, por ende: x(t) = x0 + vt
Problema 5.
Determine las ecuaciones de la aceleraci´on, velocidad y posici´on para una part´ıcula que se mueve con aceleraci´on constante. Considere t0 = 0[s], x(t0) = x0 y v(t0) = v0. Para esto recuerde que:
v(t) − v(t0) = Z t
t0
a(u)du
x(t) − x(t0) = Z t
t0
v(u)du
Soluci´on:
Sea a(u) = a y como v(t0) = v0 y t0 = 0 [s], entonces:
v(t) − v0 =
Z t
0
a du = a · u ]
t
0 = at
De este modo: v(t) − v0 = at, y por ende: v(t) = at + v0
Ahora como x(t0) = x0 y t0 = 0[s], entonces:
x(t) − x0 =
Z t
0
v(u)du =
Z t
0
(au + v0)du = a
Z t
0
u du + v0
Z t
0
du = a ·
u
2
2
it
0
+ v0 · u
it
0
= a ·
t
2
2
+ v0 · t
De este modo: x(t) − x0 = a
t
2
2 + v0t y por ende: x(t) = x0 + v0t + a
t
2
2