Question

El aire de un globo esférico escapa haciendo que el volumen del globo disminuya a razón de 520cm3/seg520cm3/seg ¿Con qué rapidez disminuye el área de la superficie del globo cuando su radio mide 0,4m0,4m?​

Answer 1

El área superficial del globo disminuye a razón de 26 centímetros cuadrados por segundo.

Explicación paso a paso:

La tasa de variación del volumen del globo se puede considerar como la derivada temporal del volumen, la cual se puede expresar en función de la derivada temporal del radio:

$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}.\frac{dr}{dt}=520\frac{cm^3}{s}$

Aplicando aquí la expresión del volumen del globo esférico tenemos:

$V=\frac{4}{3}\pi.r^3\\\\\frac{dV}{dr}=\frac{4}{3}\pi.3r^2=4\pi.r^2\\\\\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\frac{dr}{dt}=4\pi.r^2.\frac{dr}{dt}=520\frac{cm^3}{s}$

De esta expresión despejamos la variación temporal del radio del globo cuando el mismo es de 0,4 metros (40 centímetros):

$4\pi.r^2.\frac{dr}{dt}=520\frac{cm^3}{s}\\\\\frac{dr}{dt}=\frac{520\frac{cm^3}{s}}{4\pi.r^2}=\frac{520\frac{cm^3}{s}}{4\pi.(40cm)^2}\\\\\frac{dr}{dt}=0,0259\frac{cm}{s}$

Entonces la rapidez con que disminuye el área superficial es:

$\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\frac{dr}{dt}\\\\\frac{dA}{dt}=\frac{d}{dt}(4\pi.r^2)\frac{dr}{dt}\\\\\frac{dA}{dt}=4\pi.2r\frac{dr}{dt}=8\pi.r\frac{dr}{dt}=8\pi.40cm.0,0259\frac{cm}{s}\\\\\frac{dA}{dt}=26\frac{cm^2}{s}$