Question

Problema 6. Expresar como fracción parcial la siguiente función racional y compruebe su solución con Geogebra. ((4x-3))/((x+1)〖(x+2)〗^2 )

Answer 1

La descomposición en fracciones parciales viene siendo de la siguiente manera:


(4x - 3) / [(x + 1) (x + 2)^2] = A / (x + 1) + B / (x + 2) + C / (x + 2)^2


Son factores lineales y en este caso (x + 2) con multiplicidad de 2


Por lo tanto, resolviendo con mínimo común múltiplo:


(4x - 3) / [(x + 1) (x + 2)^2] = A*(x + 2)^2 + B*(x + 1)*(x + 2) + C*(x+1) / [(x + 1) (x + 2)^2]


= A*(x^2 + 4x + 4) + B*(x^2 + 3x + 2) + C*(x + 1)  ; Se eliminan los denominadores en ambos lados de la igualdad y se aplica productos notables en el 1er factor y propiedad distributiva en el 2do factor.


= A*x^2 + 4xA + 4A + B*x^2 + 3xB + 2B + Cx + C  ; Los factores literales se multiplican


= x^2 (A + B) + x*(4A + 3B + C) + (4A + 2B + C)


Igualamos los coeficientes en ambos lados de la ecuación con su respectiva variable literal:


0 = A + B   ; (1)


4 = 4A + 3B + C  ;  (2)


-3 = 4A + 2B + C  ;  (3)


3 ecuaciones con 3 incógnitas


(1)     A = -B


(2)    4 = 4(-B) + 3B + C


         4 = -B + C  →  C = B + 4


(3)   -3 = 4(-B) + 2B + B + 4
 

            -3 = -B + 4


            B = 7


            B = 7 → A = -7 → C = 7 + 4 = 11


- 7 / (x + 1) + 7 / (x + 2) + 11 / [ (x + 2)^2 ]


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