Question

Hola.. tengo esta pregunta: ¿Qué principio físico expresa el Teorema de Bernoulli? y se que la respuesta es: el principio de la conservación de energía.. pero quisiera que me explicaran como es que se relaciona ese principio con el teorema de Bernoulli

Answer 1

La ecuación de bernoulli describe el comportamiento de un flujo moviéndose a lo largo de un tubo de corriente. Supongamos que estamos al nivel del piso (marco de referencia).

Usaremos el principio de la conservación de la energía para deducir la ecuación de bernoulli.

ΔE = Σ W

El cambio de la energía mecánica es igual a la suma de todos los trabajos hechos por fuerzas no conservativas.

Procedamos a hallar cada termino de la igualdad.

Empecemos por ΣW

Σ W = F₁ ΔX₁ cos(0) + F₂ ΔX₂ cos(180)

Σ W = F₁ ΔX₁ - F₂ ΔX₂ 

pero P = F / A o F = PA entonces

Σ W = P₁ A₁ ΔX₁ - P₂ A₂ ΔX₂

pero A₁ ΔX₁ = ΔV₁  y  A₂ ΔX₂ = ΔV₂

Por conservación de la masa (ecuación de continuidad)

Δm₁ = Δm₂

ρ₁ ΔV₁ = ρ₂ ΔV₂

Como el fluido es ideal, o sea, que cumple con ser incompresible entonces ρ₁ = ρ₂ = ρ

esto implica que ΔV₁ = ΔV₂ = ΔV

→ ∑ W = ΔV(P₁ - P₂)

Ahora procedemos a hallar ΔΕ

ΔΕ = E₂ - Ε₁

ΔΕ = K₂ + U₂ - K₁ - U₁

ΔΕ = (K₂ - K₁) + (U₂ - U₁)

ΔΕ = (1/2)m(v₂²-v₁²) + mg(y₂-y₁)

pero m₁ = m₂ = ρΔV

→ ΔΕ = ΔV((1/2)ρv₂² - (1/2)ρv₁² + ρgy₂ - ρgy₁)


Igualando

ΔV(P₁-P₂) = ΔV((1/2)ρv₂² - (1/2)ρv₁² + ρgy₂ - ρgy₁)

Se cancela el ΔV y queda

P₁-P₂ = (1/2)ρv₂² - (1/2)ρv₁² + ρgy₂ - ρgy₁

P₁+ρgy₁+(1/2)ρv₁² = P₂+ρgy₂+(1/2)ρv₂²

Esto implica que

Δ(P+ρgy+(1/2)ρv²) = 0

P+ρgy+(1/2)ρv² = constante

A esto se le llama la ecuación de Bernoulli

donde 

P = presión absoluta

ρgy = presión estática

(1/2)ρv² = presión dinámica