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Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucía, Modelo 3 2014-2015, MATEMATICAS II.
a) si α=1, entonces:
2x+y =02x+y=0
x-y-3z=1x−y−3z=1
x+y+2z=0x+y+2z=0
usaremos Cramer para resolver el sistema de ecuaciones, quedando
\begin{gathered}x= \frac{ \left[\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&-1&-3\\0&1&2\end{array}\right] }{ \left[\begin{array}{ccc}2&1&0\\1&-1&-3\\1&1&2\end{array}\right] } = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3} \end{gathered}
x=
⎣
⎢
⎡
2
1
1
1
−1
1
0
−3
2
⎦
⎥
⎤
⎣
⎢
⎡
0
1
0
1
−1
1
0
−3
2
⎦
⎥
⎤
=
−3
−2
=
3
2
\begin{gathered}y= \frac{ \left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\1&1&-3\\1&0&2\end{array}\right]}{ \left[\begin{array}{ccc}2&1&0\\1&-1&-3\\1&1&2\end{array}\right] } = \frac{4}{-3} = - \frac{4}{3} \end{gathered}
y=
⎣
⎢
⎡
2
1
1
1
−1
1
0
−3
2
⎦
⎥
⎤
⎣
⎢
⎡
2
1
1
0
1
0
0
−3
2
⎦
⎥
⎤
=
−3
4
=−
3
4
\begin{gathered}z= \frac{ \left[\begin{array}{ccc}2&1&0\\1&-1&1\\1&1&0\end{array}\right] }{ \left[\begin{array}{ccc}2&1&0\\1&-1&-3\\1&1&2\end{array}\right] } = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} \end{gathered}
z=
⎣
⎢
⎡
2
1
1
1
−1
1
0
−3
2
⎦
⎥
⎤
⎣
⎢
⎡
2
1
1
1
−1
1
0
1
0
⎦
⎥
⎤
=
−3
−1
=
3
1
b) Si sustituimos en el sistema de ecuaciones tenemos,
2-3+( \alpha -1) \alpha = \alpha -12−3+(α−1)α=α−1
1+3 \alpha -3 \alpha =11+3α−3α=1
1-3+2 \alpha =2 \alpha -21−3+2α=2α−2
Despejando:
\alpha ^2-2 \alpha =0α
2
−2α=0
1=11=1
-2=-2−2=−2
Si resolvemos,
\alpha ^2-2 \alpha =0α
2
−2α=0 tenemos como resultado: α=0; α=2
por el teorema de Rouché podemos decir que
para α = 0 el sistema es compatible indeterminado y
para α=2 el sistema es compatible determinado
así que para α=2 el sistema tiene una única solución la cual es: (1,-3, α).