Question

ECUACIONES DIFERENCIALES - Un depósito contiene 500 lt de líquido en el que se disuelven 20 gr de sal: Una salmuera que contiene 5 gr/lt se bombea al depósito con una intensidad de 8 lt/min, la solución adecuadamente mezclada se bombea hacia fuera con una intensidad de 10 lt/min. Encuentre el número de gramos de sal y la concentración de sal, que hay en el depósito en un instante cualquiera.

Answer 1

RESOLUCIÓN.

Para resolver este problema hay que seguir los siguientes pasos:

1) Determinar el valor de la concentración con respecto al tiempo.

La ecuación diferencial que rige a las mezclas es:

dx/dt + Q2*X/[Vo + (Q1 - Q2)t] = Q1*C1

Dónde:

Q1 es el caudal de entrada.

Q2 es el caudal de salida.

Vo es el volumen inicial.

C1 es la concentración que se agrega a la mezcla.

Datos:

Q1 = 8 L/min

Q2 = 10 L/min

V = 500 L

C1 = 5 g/L

Sustituyendo se tiene que:

dx/dt + 10*X/[500 + (8 - 10)t] = 8*5

dx/dt + 5*X/(250 - t) = 40

Reordenando la ecuación se tiene que:

dx + [5X/(250 - t)] dt = 40 dt

Por ser una ecuación diferencial lineal hay que encontrar un factor, el cual es:

μ = e^∫5/(250 - t) dt = e^[-5*ln(250 - t)] = (250 - t)⁻⁵

Ahora se multiplica la ecuación diferencial por μ.

(250 - t)⁻⁵ * dx + 5*X(250 - t)⁻⁶ * dt = 40(250 - t)⁻⁵ * dt

Puesto que:

d [(250 - t)⁻⁵ * X] = (250 - t)⁻⁵ * dx + 5*X(250 - t)⁻⁶ * dt

La ecuación queda:

d [(250 - t)⁻⁵ * X] = 40(250 - t)⁻⁵ * dt

Ahora se integra la expresión:

∫d [(250 - t)⁻⁵ * X] = ∫40(250 - t)⁻⁵ * dt

(250 - t)⁻⁵ * X = 10(250 - t)⁻⁴ + K

Se sustituye pata t = 0, x = 20

(250)⁻⁵ * 20 = 10(250)⁻⁴ + K

K = -2480*(250)⁻⁵

Sustituyendo el valor de K:

(250 - t)⁻⁵ * X = 10(250 - t)⁻⁴ - 2480*(250)⁻⁵

Despejando X:

X(t) = 10(250 - t) - 2480*(250)⁻⁵ * (250 - t)⁵

Los gramos de sal en cualquier instante de tiempo es X(t).

2) Determinar la concentración en cualquier instante de tiempo.

C(t) = X(t) / V(t)

V(t) = Vo + (Q1 - Q2)t

Sustituyendo los valores en V(t):

V(t) = 500 + (8 - 10)t

V(t) = 500 - 2t

V(t) = 2*(250 - t)

Sustituyendo X(t) y V(t) en C(t):

C(t) = {10(250 - t) - 2480*(250)⁻⁵ * (250 - t)⁵} / 2*(250 - t)

C(t) = 5 - 1240*(250)⁻⁵ * (250 - t)⁴

La concentración en cualquier instante de tiempo es C(t).