Question

como fatorizar x^7 + x^5 + 1 (caso especial)

Answer 1

Es obvio que no tiene un factor de la forma $(x-a)$ donde $a\in\mathbb Q$, entonces podemos pensar que tiene un factor de la forma $(x^2+ax+1)$ y el otro $(x^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+1)$ 

Al multiplicarlos tenemos

$x^7+(a+b)x^6+(ab+c+1)x^5+(ac+b+d)x^4+(ad+c+e)x^3+\cdots\\ \\ \hspace*{5cm}\cdots +(ae+d+1)x^2+(a+e)x+1\\ \\ \\ \texttt{Entonces tenemos:} \begin{cases} a+b=0\\ ab+c+1=1\\ ac+b+d=0\\ ad+c+e=0\\ ae+d+1=0\\ a+e=0 \end{cases}\\ \\ \\ \texttt{Haciendo: }a=p\to b=-p\to e=-p\texttt{ tenemos}\\ \\ \begin{cases} -p^2+c=0\\ pc-p+d=0\\ pd+c-p=0\\ -p^2+d+1=0\\ \end{cases}\\ \\ c=p^2\wedge d=p^2-1\\ \\ \begin{cases} p^3-p+(p^2-1)=0\\ p(p^2-1)+p^2-p=0\\ \end{cases}\to p=1$

Luego

$\begin{cases} a=1\\b=-1\\c=1\\d=0\\e=-1 \end{cases}\\ \\ \\ \texttt{Entonces} \\ \\ x^7+x^5+1=(x^2+x+1)(x^5-x^4+x^3-x+1)$