Question

¿Qué puntos p1 y p2 dividen al segmento de extremos A (1,3) y B (4, 1) en tres partes iguales?

me ayudan xfa es de geometría analítica!!!!!​

Answer 1

Los puntos P1 (2, 7/3)  y  P2 (3, 5/3)  dividen al segmento de extremos A (1,3) y B (4, 1) en tres partes iguales.

 

Explicación paso a paso:

Sabemos que los puntos  P1  y  P2  dividen al segmento  AB  en tres partes iguales. Eso significa que la distancia  AP1 y BP2  son iguales, también que AP2 es el doble de AP1 y que BP1 es el doble de BP2.

Llamemos  r1  a la razón en que el punto  P1 divide al segmento  A (x₁, y₁)   B (x₂, y₂).

r1  =  AP1/P1B  =  1/2  es decir, la razón en que el punto P1 divide el segmento AB es la razón entre las longitudes de los segmentos AP1 y P1B.

De aquí se deduce la fórmula:

$\bold{r1~=~\dfrac{xP1~-~x_{1}}{x_{2}~-~xP1}}$

De la fórmula podemos despejar xP1

$\bold{xP1~=~\dfrac{r1\cdot x_{2}~+~x_{1}}{1~+~r1}~=~\dfrac{(\frac{1}{2})\cdot(4)~+~(1)}{1~+~(\frac{1}{2})}~=~2}$

Para hallar   yP1  construimos la ecuación de la recta usando la llamada ecuación de la recta que pasa por dos puntos:

$\bold{(y~-~y_{1})~=~\dfrac{y_{2}~-~y_{1}}{x_{2}~-~x_{1}}(x~-~x_{1})}$

$\bold{(y~-~3)~=~\dfrac{1~-~3}{4~-~1}(x~-~1) \qquad \Rightarrow \qquad y~=~-\dfrac{2}{3}x~+~\dfrac{11}{3}}$

$\bold{ yP1~=~-\dfrac{2}{3}(2)~+~\dfrac{11}{3} \qquad \Rightarrow \qquad yP1~=~\dfrac{7}{3}}$

Las coordenadas del punto P1 son: (2, 7/3)

Llamemos  r2  a la razón en que el punto  P2  divide al segmento  A (x₁, y₁) B (x₂, y₂).

r2  =  AP2/P2B  =  2  es decir, la razón en que el punto P2 divide el segmento AB es la razón entre las longitudes de los segmentos AP2 y P2B. De aquí se deduce la fórmula:

$\bold{r2~=~\dfrac{xP2~-~x_{1}}{x_{2}~-~xP2}}$

De la fórmula podemos despejar xP2

$\bold{xP2~=~\dfrac{r2\cdot x_{2}~+~x_{1}}{1~+~r2}~=~\dfrac{(2)\cdot(4)~+~(1)}{1~+~(2)}~=~3}$

Para hallar  yP2  sustituimos en la ecuación de la recta:

$\bold{ yP2~=~-\dfrac{2}{3}(3)~+~\dfrac{11}{3} \qquad \Rightarrow \qquad yP2~=~\dfrac{5}{3}}$

Las coordenadas del punto P2 son: (3, 5/3)

Los puntos   P1 (2, 7/3)  y  P2 (3, 5/3)   dividen al segmento de extremos  A (1,3)   y   B (4, 1)   en tres partes iguales.