Question

Daniel tiene en una alcancía 76 monedas de 2 y 5 pesos. Si en total tiene 254 pesos ¿Cuántas monedas tiene de cada denominante?

Answer 1

Daniel tiene 42 monedas de 2 pesos y 34 monedas de 5 pesos

Solución

Llamamos variable "x" a las monedas de 2 pesos y variable "y" a las monedas de 5 pesos

Donde sabemos que

El total de monedas que Daniel tiene en la alcancía es de 76

Donde sabemos que el monto total que ha ahorrado en su alcancía es de $ 254

Teniendo monedas de denominación de $ 2

Teniendo monedas de denominación de $ 5

Estamos en condiciones de plantear un sistema de ecuaciones que satisfaga al problema

El sistema de ecuaciones:

Sumamos la cantidad de monedas de 2 pesos y la cantidad de monedas de 5 pesos para la primera ecuación y la igualamos a la cantidad de monedas  que tiene en la alcancía

$\large\boxed {\bold {x \ +\ y = 76 }}$            $\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

Luego como Daniel ha ahorrado en dos clases o dos denominaciones de monedas sumamos las monedas de valor de $ 2 y las monedas de valor de $ 5 para plantear la segunda ecuación, y la igualamos al monto total de dinero que posee en la alcancía

$\large\boxed {\bold {2x \ + \ 5y = 254 }}$       $\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

Luego

$\large\boxed {\bold {x =76 -y }}$                 $\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

Resolvemos el sistema de ecuaciones

Reemplazando

$\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

$\large\boxed {\bold {x =76 -y }}$

$\large\textsf {En Ecuaci\'on 2 }$

$\large\boxed {\bold {2x \ + \ 5y = 254 }}$

$\boxed {\bold {2\ (76 -y) \ + \ 5y = 254 }}$

$\boxed {\bold {152- 2y \ + \ 5y = 254 }}$

$\boxed {\bold {152 \ + \ 3y = 254 }}$

$\boxed {\bold { 3y = 254 -152 }}$

$\boxed {\bold { 3y = 102}}$

$\boxed {\bold { y = \frac{102}{3} }}$

$\large\boxed {\bold { y = 34 }}$

Por lo tanto Daniel tiene 34 monedas de 5 pesos

Hallamos la cantidad de monedas de dos pesos que tiene Daniel

Reemplazando el valor hallado de y en

$\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

$\large\boxed {\bold {x =76 -y }}$              

$\boxed {\bold {x =76-34 }}$

$\large\boxed {\bold {x =42 }}$

Luego Daniel tiene 42 monedas de 2 pesos

Verificación

Reemplazamos los valores hallados para x e y en el sistema de ecuaciones

$\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

$\boxed {\bold {x \ +\ y = 76\ monedas}}$

$\boxed {\bold { 42 \ monedas\ de \ \ \ 2\ +\ 34 \ monedas\ de \ \ \ 5\ = 76 \ monedas}}$

$\boxed {\bold {76 \ monedas = 76 \ monedas }}$

$\textsf{Se cumple la igualdad }$

$\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

$\boxed {\bold {2x \ + \ 5y = 254 }}$

$\boxed {\bold {\ \ 2 \ . \ 42 \ monedas\ \ +\ \ \ 5 \ . \ 34 \ monedas\ = \ \ 254 }}$

$\boxed {\bold {\ \ 84 \ + \ \ \ 170 = \ \ 254 }}$

$\boxed {\bold {\ \ 254 = \ \ 254 }}$

$\textsf{Se cumple la igualdad }$