Question

un poste inclinado esta sujeto por un cable que mide 22m si el angulo formado entre el piso y el clable es de 30° y el angulo que forma el piso y el poste es de 70 ¿cual es la altura del poste?​

Answer 1

La altura del poste inclinado es de 11.71 metros

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Se representa la situación en un triángulo ABC el cual está conformado por el lado AB (c) que figura el plano del suelo, donde el lado AC (b) equivale a la altura del poste inclinado, formando este con el piso un ángulo de 70°, y el lado BC (a) representa la longitud del cable de sujeción el cual forma con el suelo un ángulo de 30°

En donde se debe calcular cual es la altura del poste inclinado

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

Solución

Denotamos a los ángulos dados por enunciado: de 70° y de 30° como α y β respectivamente

Establecemos una relación de proporcionalidad entre los lados y los ángulos del triángulo

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Hallamos la altura del poste

Denotamos a la distancia entre B Y C de la cual conocemos su valor como "a" y a la distancia entre A y C como "b"

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{b}{sen(\beta )} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{b}{sen(B)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen (70 ^o ) } = \frac{ b }{sen(30^o) } }}$

$\boxed { \bold { \frac{22\ m }{ sen (70 ^o ) } = \frac{ b }{sen(30^o) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 22 \ m \ . \ sen(30 ^o ) }{\ sen(70^o) } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 30 grados es } \bold {\frac{ 1 } { 2 } }$

$\large\textsf{Reemplazando }$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 22 \ m \ . \ \frac{1}{2} }{0.9396926207859 } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 11 }{ 0.9396926207859 }\ m}}$

$\boxed { \bold { b =11.7059 \ m }}$

$\large\boxed { \bold { b =11.71\ m }}$

La altura del poste inclinado es de 11.71 metros

Se adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas