Question

Una escalera de 6 metros está inclinada en un edificio, si la escalera forma un ángulo de 37° con el suelo, ¿a qué altura del edificio llega la escalera?

Answer 1

La altura que alcanza la escalera es de 3.6 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Donde el triángulo dado resulta ser lo que se llama un triángulo notable.      

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Los triángulos notables son figuras geométricas que poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto las magnitudes de sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre los lados.

Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Los lados de un triángulo no se pueden encontrar si se saben sólo los ángulos del triángulo, pero lo que sí se puede definir son las proporciones que los lados tendrán.  

En estos triángulos se utiliza la letra “k” indicando que es una proporción entre sus lados.

Y esa letra k a la vez es una constante, que conocida permite hallar los lados de un triángulo notable con facilidad

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en la resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.

Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto.

• El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 37-53 (por sus ángulos) o 3-4-5 (por sus lados).

• Este triángulo tiene un ángulo de 37° y otro de 53°, donde el lado opuesto al ángulo de 37° medirá 3k y el lado opuesto al ángulo de 53° medirá 4k y la hipotenusa medirá 5k. Donde k es siempre una constante.

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC  el cual está conformado por el lado BC que equivale a la altura que alcanza la escalera sobre el edificio , el lado AC que representa la distancia desde el pie de la escalera hasta la base del edificio y el lado AB es la longitud de la escalera inclinada sobre el edificio, donde el píe de la escalera forma con el suelo un ángulo de elevación de 37°

Solución

Método 1

Razones trigonométricas con ángulos notables

Conocemos

• Longitud de la escalera = 6 m

• Ángulo de elevación = 37°

• Debemos hallar a que altura del edificio llega la escalera

Como conocemos la hipotenusa (longitud de la escalera) y buscamos el valor del cateto opuesto al ángulo dado(la altura que alcanza la escalera)  relacionamos estos datos con el seno del ángulo α

Como tenemos un triángulo notable

$\large\boxed{\bold { sen(37^ o) = \frac{3}{5} }}$

$\boxed{\bold { sen(37^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ hipotenusa } } }$

$\boxed{\bold { sen(37^o) = \frac{ altura\ escalera }{ longitud \ escalera} } }$

Si

$\boxed{\bold { sen(37^ o) = \frac{3}{5} }}$

$\boxed{\bold { altura\ escalera = longitud \ escalera \ . \ sen(37^o) } }$

$\boxed{\bold { altura\ escalera = longitud \ escalera \ . \ \frac{3}{5} } }$

$\boxed{\bold { altura\ escalera = 6 \ m \ .\ \frac{3}{5} } }$

$\boxed{\bold { altura\ escalera = \frac{18 \ m }{5} } }$

$\large\boxed{\bold {altura\ escalera = 3.6 \ metros } }$

Método 2

Hallando el valor de la constante k

La longitud de la escalera es de 6 metros

Y es la hipotenusa del triángulo notable 37° 53° por lo tanto mide 5k

Planteamos

$\boxed{\bold { longitud \ escalera =6 \ m= 5k }}$

Despejamos a la constante k

$\boxed{\bold {5 k = 6 \ m }}$

$\boxed{\bold { k = \frac{ 6 \ m }{5 } }}$

$\boxed{\bold { k = 1.2 }}$

El valor de la constante k es de 1.2

La altura que alcanza la escalera es el lado opuesto al ángulo de 37, por lo tanto medirá 3k

Planteamos

$\boxed{\bold { altura\ escalera = 3k }}$

Reemplazamos el valor de la constante k

$\boxed{\bold { altura\ escalera = 3 \ . \ 1.2 }}$

Obteniendo

$\large\boxed{\bold {altura\ escalera = 3.6 \ metros } }$

Se arriba al mismo resultado