Question

El 40% de los habitantes de una ciudad padecen de una cierta enfermedad. Si se extrae
al azar 7 pacientes, cual es la probabilidad:
a) Por lo menos cuatro estén enfermos
b) ninguno este enfermo

Answer 1

Hay una probabilidad de 0.2897 de que al menos  4  pacientes en la muestra estén enfermos y de  0.0280  de que ninguno esté enfermo.

Explicación:

Vamos a considerar que cada paciente es independiente del resto y que vamos a realizar el experimento de conocer si está enfermo o no. Esto se conoce como experimento aleatorio dicotómico (dos resultados) y se estudia por medio de la distribución binomial.

Un experimento aleatorio que consiste de  n  ensayos repetidos tales que:

1. Los ensayos son independientes,

2. Cada ensayo tiene solo dos resultados posibles, denominados “éxito” y “fracaso”, y

3. La probabilidad de éxito en cada ensayo, denotada por  p,  constante recibe el nombre de experimento binomial.

La variable aleatoria X que es igual al número de ensayos donde el resultado es un éxito, tiene una distribución binomial con parámetros p y n = 1, 2, 3, ...

La Probabilidad de X = x es

$\bold{P(X~=~x)~=~(\begin{array}{c}n\\x\end{array})~p^x~(1~-~p)^{(n~-~x)}}$

donde $(\begin{array}{c}n\\x\end{array})$ es el número combinatorio:

$\bold{(\begin{array}{c}n\\x\end{array})~=~\dfrac{n!}{(n~-~x)!~x!}}$

En el caso que nos ocupa definimos la variable aleatoria binomial

X  =  Número de pacientes enfermos en la muestra

p  =  0,4 (40%)  

n  =  7

a)  ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos cuatro estén enfermos?

Se desea hallar la probabilidad de que  x  sea mayor o igual que 4; es decir,  la probabilidad que   x   sea igual a 4,  5,  6  o  7:

$\bold{P(x~\geq~4)~=~P(x~=~4)~+~P(x ~=~5)~+~P(x ~=~6)~+~ P(x ~=~7)}$

 

$\bold{P(x~=~4)~=~(\begin{array}{c}7\\4\end{array})~(0.4)^4~(1~-~0.4)^{(7~-~4)}~=~0.1935}$

$\bold{P(x~=~5)~=~(\begin{array}{c}7\\5\end{array})~(0.4)^5~(1~-~0.4)^{(7~-~5)}~=~0.0774}$

$\bold{P(x~=~6)~=~(\begin{array}{c}7\\6\end{array})~(0.4)^6~(1~-~0.4)^{(7~-~6)}~=~0.0172}$

$\bold{P(x~=~7)~=~(\begin{array}{c}7\\7\end{array})~(0.4)^7~(1~-~0.4)^{(7~-~7)}~=~0.0016}$

$\bold{P(x \geq 4)~=~0.1935~+~0.0774~+~0.0172~+~ 0.0016 ~=~0.2897}$

Hay una probabilidad de 0.2897 de que al menos  4  pacientes en la muestra estén enfermos.

b)  ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno este enfermo?

Se desea hallar la probabilidad de que  x  sea igual que cero:

$\bold{P(x~=~0)~=~(\begin{array}{c}7\\0\end{array})~(0.4)^0~(1~-~0.4)^{(7~-~0)}~=~0.0280}$

Hay una probabilidad de  0.0280  de que ninguno de los pacientes en la muestra esté enfermo.