Question

¿Qué condiciones debe cumplir una función para que tenga inversa?

Answer 1

Respuesta:

Para que una función pueda tener inversa:

Debe ser biyectiva. Osea, tanto inyectiva (que al trazar una línea horizontal en su recta solo toque un punto de esta) como sobreyectiva (que su rango sean todos los reales)

• Tip: Usualmente las funciones de grado 1 tienen inversa porque son biyectivas.

Para comprobar que f ⁻¹ es el inverso de f se deben cumplir las siguientes condiciones:

• f⁻¹ (f(x)) = x ⇒ Al reemplazar la función original f(x) dentro de la variable en f ⁻¹ el resultado debe ser x.
• f (f⁻¹ (y)) = y ⇒ Al reemplazar la función inversa f⁻¹ dentro de la variable en f(x) el resultado debe ser x.

Explicación paso a paso:

Un ejemplo de una función con inversa sería $\frac{6x+10}{3}$, esta es una función de grado uno y cumple con la condición de biyectividad: es una recta (a cada punto de x le corresponde solo un punto en y) y su rango son todos los reales. Calculando:

La inversa de f(x) = $\frac{6x+10}{3}$ es f⁻¹(x) = $\frac{3x-10}{6}$.

Ahora, si te referías a las representaciones en diagramas sagitales, pues, cumple la misma condición: debe ser biyectiva.

Para saber si una función es biyectiva basta con revisar si son:

*Inyectivas (a los elementos en A les corresponde un solo elemento en B)

*Sobreyectivas (todos los elementos de A se les asigna un elemento en B)

Una función biyectiva tiene ambas propiedades, una función es biyectiva cuando a todos los elementos de B les corresponde un único elemento de A.