Un murciélago vuela hacia una pared con una rapidez de 9.3 m/s. Mientras vuela, el murciélago emite una onda sonora ultrasónica con frecuencia de 30 kHz.
¿Que frecuencia oye el murciélago de la onda reflejada en la pared?
Respuestas
Respuesta:
Vamos a calcular en primer lugar la velocidad del murciélago utlizando el corrimiento de frecuencias debido al efecto Doppler. El murciélago emite un sonido con frecuencia f0. Esta onda llega a la pared, donde rebota y es emitida hacia el murciélago con una frecuencia fp. Finalmente este sonido llega al murciélago con una frecuencia f1.
En el primer proceso la pared actúa como receptor y el murciélago como emisor. Así pues la frecuencia que percibe la pared es
f_p = \frac{c}{c-v_m}f_0
La velocidad vm se considera positiva pues el murciélago se acerca a la pared.
El sonido proveniente de la pared tiene frecuencia fp. Al llegar al murciélago, éste es el receptor y la pared es el emisor. Así pues la frecuencia que percibe el animal es
f_1=f_p\frac{c+v_m}{c}=f_0\frac{c}{c-v_m}\frac{c+v_m}{c}=f_0\frac{c+v_m}{c-v_m}
Despejando obtenemos la velocidad del murciélago en función de las frecuencias y la velocidad del sonido en el aire
v_m=c\frac{f_1-f_0}{f_1+f_0}
La velocidad del murciélago siempre será mucho menor que la del sonido en el aire. Entonces las frecuencias f0 y f1 son muy parecidas. Se cumple por tanto, f_1-f_0=\Delta f\ll f_0 . Obtenemos así una expresión más sencilla de la velocidad del murciélago
v_m=c\frac{\Delta f}{2f_0+\Delta f}\simeq\frac{\Delta f}{2f_0}c
Vamos a calcular ahora la distancia a la que estaba el murciélago de la pared cuando emitió el sonido. Consideramos tres instantes de tiempo como se indica en la figura. En t = 0 el murciélago está a una distancia d0 de la pared y emite el ultrasonido. En t = Δt1 el ultrasonido llega a la pared y rebota. En ese momento el murciélago está a la distancia d1 de la pared. Finalmente, el ultrasonido emitido por la pared llega al murciélago en el instante Δt, estando el animal a la distancia d2 del muro.
Durante el tiempo Δt el murciélago ha seguido avanzando hacia la pared con velocidad vm. Por tanto, cuando recibe el ultrasonido la distancia d2 es
d_2=d_0-v_m\Delta t\,
Tenemos que calcular d2. Para ello vemos que los intervalos de tiempo Δt1 y Δt2 valen
\begin{array}{lccr}
\displaystyle \Delta t_1 = \frac{d_0}{c}=\frac{d_2+v_m\,\Delta t}{c},&&\displaystyle\Delta t_2=\frac{d_2}{c}=\frac{d_2}{c}
\end{array}
Sumando los dos tenemos
\Delta t_1+\Delta t_2=\Delta t=\frac{d_2+v_m\,\Delta t}{c}+\frac{d_2}{c}
Despejando d2 queda
d_2=\frac{(c-v_m) \Delta t}{2}
Observemos que si el murciélago no se mueve, tenemos vm = 0 y por tanto d2 = cΔt / 2.
Sustituyendo aquí vm, calculada anteriormente
c-v_m = \left(1-\frac{f_1-f_0}{f_1+f_0}\right)c = \frac{2f_0}{f_1+f_0}c \Rightarrow d_2 = \frac{f_0 c \Delta t}{f_1+f_0}
Si lo que tenemos es el corrimiento en la frecuencia y este es relativamente pequeño
c-v_m\simeq c - \frac{\Delta f}{2f_0}c \Rightarrow d_2 \simeq \frac{c\Delta t}{2}-\frac{c \Delta t\Delta f}{4 f_0}
De nuevo podemos comprobar que si Δf = 0, se tiene d2 = cΔt / 2, como es lógico.
Los murciélagos se desplazan con velocidades alrededor de 5 m/s. Podemos estimar el desplazamiento de frecuencias que produce esta velocidad. De la expresión que nos da la velocidad del murciélago obtenemos
\frac{\Delta f}{f_0}=\frac{2v_m}{c}\frac{1}{1-\displaystyle\frac{v_m}{c}}
Si vm = 5 m/s y c = 343 m/s tenemos \Delta f/f_0\simeq 0.030 . Por tanto está justificado utilizar las expresiones aproximadas.