Question

Encuentra el volumen del sólido obtenido al rotar la siguiente región limitada por las curvas dadas alrededor del eje especificado:

y=2x, y=x^2; alrededor del eje x

Answer 1

Solo tienes que calcular la integral,

$V=\displaystyle\int^{b}_{a}{\pi[f(x)^{2}-g(x)^{2}]}dx$

por supuesto, identificamos

$f(x)=2x \\ g(x)=x^{2}$

debemos buscar los puntos d ecorte entre las funciones, solo hay igualralas,

$2x=x^{2} \\ x^{2}-2x=0 \\ x(x-2)=0$

obtenemos dos puntos d ecorte que son 0 y 2, respectivamente asignados a a y b, entonces

$V=\displaystyle\int^{2}_{0}{\pi[4x^{2}-x^{4}]}dx=\pi\left(\frac{4x^{3}}{3}-\frac{x^{5}}{5}\right|_{0}^{2} \\ \\ V=\pi\left(\frac{4(2)^{3}}{3}-\frac{(2)^{5}}{5}\right)-\pi\left(\frac{4(0)^{3}}{3}-\frac{(0)^{5}}{5}\right) \\ \\ V=\frac{64\pi}{15}\approx13,40$