Question

Indica el dominio,recorrido,mononía y simetria de la funcion f(X) =x²+2

Answer 1

Hola!

Primero que nada, hallaremos el dominio de la funcion.

Definamos que es el dominio de una funcion, seran todos los valores que puede tomar la variable "x" que hace que la funcion exista.

Entonces la funcion:

f(x) = x^2 + 2

En esta funcion el dominio seran todos los numeros reales, porque no hay algun impedimiento que haga que la funcion no exista, en otras palabras cualquier valor que demos a "x" tambien habra un valor para "y".

Dom f(x) = x € R

Ahora para encontrar el rango o recorrido de una funcion se despeja "x" en funcion de "y"

f(x) = x^2 + 2
y = x^2 + 2 --------> ( f(x) es lo mismo que "y" )

Resolvemos como una ecuacion normal:

y = x^2 + 2
x^2 = y - 2
x = √(y - 2) -------> lo pongo entre parentesis para hacer notar que la raiz es a toda la exprecion.

Ahora hacemos lo mismo que el dominio, identificamos los valores que puede tomar en este caso "y" para que exista la funcion.

Notamos que hay una raiz entonces debemos poner una condicion que lo que esta en la raiz debe ser mayor o igual a cero, el motivo es porque si en la raiz queda un numero negativo la funcion ya no existe en los numeros reales, esta condicion solo es valida cuando la raiz es de un exponente par, si la raiz fuera cubica no abria ningun problema y en ese caso serian todos los reales.

La condicion:

y - 2 ≥ 0
y ≥ 2

Entonces tenemos el rango:

Rg f(x) = y € [ 2 ; ∞ )

Ahora para hallar la monotonia, devemos definir en que valores la funcion es creciente o decreciente.

La funcion : f(x) = x^2 + 2 , es una parabola por lo que habra un vertice hallaremos el vertice de esa parabola para poder hallar los intervalos de monotonia.

Usaremos esta formula para hallar el vertice:

x = -b/2a

y = x^2 + 2

en esye caso los valores de a y b son :

a = 1 y b = 0 ------ > ( b es igual a cero porque en esta ecuacion de segundo grado que tiene por defecto la forma ax^2 + bx + c , notamos que no esta la parte bx por lo que sera un 0.)

x = -(0)/2(1)
x = 0

con el valor de "x" hallamos el valor de "y"

y = x^2 + 2
y = (0)^2 + 2
y = 2

Entonces el vertice de nuestra parabola sera:

V ( 0 ; 2 )

lo que nos interesa de este vertice sera el valor de "x" ahora con el dominio de la funcion que sacamos al inicio plantemos los intervalos.

Primer intervalo:

x € ( -∞ ; 0)

como la funcion es una parabola y la x^2 es positiva la parabola se abre hacia arriba, por lo que en el intervalo desde menos infinito a cero la funcion sera decreciente.

Segundo intervalo:

x € ( 0 ; ∞ )

en este caso la funcion sera creciente en el intervalo de cero a mas infinito.

Finalente la simetria o paridad de una funcion, se la obtiene reemplazando "x" por "-x" en la funcion y si la funcion es la misma la funcion sera par o simetrica respecto al eje y.

Como ya sabemos que la grafica de esta funcion es una parabola si hay simetria entonces:

f(x) = f(-x) ------> funcion par o simetrica al eje "y"

f(x) = - f(x) -------> funcion impar o simetrica al origen

Procedemos:

f(x) = x^2 + 2
f(-x) = (-x)^2 + 2
f(-x) = x^2 + 2 -----> ( el menos "x" se hace positivo por el exponente par)

Entonces tenemos que la funcion es simetrica con respecto al eje "y" por lo que la funcion sera par.

En este caso como la funcion es par ya no sera impar porque una funcion puede ser par o impar pero no las dos.

Bueno eso seria todo el ejercicio un poco extenso por todo lo que estube comentando pero espero haberte ayudado.

Suerte!