Question

Tres sombreros y cuatro corbatas costaron $1560.00, y dos sombreros y tres corbatas , a los mismos precios , costaron $1070.00 Encuentra el costo de un sombrero y una corbata

Answer 1

El costo de un sombrero es de $ 400

El costo de una corbata es de $ 90

Solución

Establecemos las ecuaciones que modelan la situación del problema

Determinándolas con las dos compras que se han efectuado

Llamamos variable "x" al costo de un sombrero y variable "y" al costo de una corbata

Donde sabemos que tres sombreros y cuatro corbatas costaron un total de $ 1560

Y conocemos que dos sombreros y tres corbatas a los mismos precios costaron un total de $ 1070

Estamos en condiciones de plantear un sistema de ecuaciones que satisfaga al problema

El sistema de ecuaciones:

Para la primera ecuación sumamos 3 sombreros y 4 corbatas y la igualamos al importe pagado por la compra realizada de $ 1560

$\large\boxed {\bold {3 x \ + \ 4y = 1560 }}$     $\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

Luego para establecer la segunda ecuación sumamos 2 sombreros y 3 corbatas  y la igualamos al importe abonado por la compra de $ 1070

$\large\boxed {\bold {2x \ + \ 3y = 1070 }}$       $\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

Luego

En  $\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

$\large\boxed {\bold {3 x \ +\ 4y = 1560 }}$

Despejamos x

$\boxed {\bold {3 x = 1560\ -\ 4y }}$

$\boxed {\bold { \frac{\not3x}{\not3} = \frac{1560}{3} -\ \frac{4y}{3} }}$

$\large\boxed {\bold { x =520 -\ \frac{4y}{3} }}$          $\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

Resolvemos el sistema de ecuaciones

Reemplazando

$\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

$\large\boxed {\bold { x =520 -\ \frac{4y}{3} }}$

$\large\textsf {En Ecuaci\'on 2 }$

$\large\boxed {\bold {2x \ + \ 3y = 1070 }}$

$\boxed {\bold { 2\ . \left(520 -\ \frac{4y}{3} \right) \ +\ 3y =1070 }}$

$\boxed {\bold {1040 -\frac{8y}{3} \ +\ 3y = 1070 }}$

$\boxed {\bold {1040 -\frac{8y}{3} \ +\ 3y\ . \ \frac{3}{3} = 1070 }}$

$\boxed {\bold {1040 -\frac{8y}{3} \ +\ \frac{9y}{3} = 1070 }}$

$\boxed {\bold {1040\ +\ \frac{y}{3} = 1070 }}$

$\boxed {\bold {\frac{y}{3} =1070\ -\ 1040 }}$

$\boxed {\bold {\frac{y}{3} =30 }}$

$\boxed {\bold { y = 30 \ . \ 3 }}$

$\large\boxed {\bold { y = 90 }}$

El costo de una corbata es de $ 90

Hallamos el precio de un sombrero

Reemplazando el valor hallado de y en

$\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

$\large\boxed {\bold { x =520 -\ \frac{4y}{3} }}$

$\boxed {\bold { x = 520 -\ \frac{4\ . \ 90}{3} }}$

$\boxed {\bold { x = 520 -\ \frac{360}{3} }}$

$\boxed {\bold { x = 520 -120 }}$

$\large\boxed {\bold { x = 400 }}$

El precio de un sombrero es de $ 400

Verificación

Reemplazamos los valores hallados para x e y en el sistema de ecuaciones

$\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

$\boxed {\bold {3 x \ + \ 4y = 1560 }}$

$\boxed {\bold { 3 \ sombreros\ .\ \ \ \ 400+\ 4 \ corbatas \ . \ \ \ 90 = \ \ 1560 }}$

$\boxed {\bold {\ \ 1200 \ + \ \ \ 360 = \ \ 1560}}$

$\boxed {\bold {\ \ 1560 = \ \ 1560 }}$

$\textsf{Se cumple la igualdad }$

$\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

$\boxed {\bold {2x \ + \ 3y = 1070 }}$

$\boxed {\bold { 2 \ sombreros\ .\ \ \ \ 400+\ 3 \ corbatas \ . \ \ \ 90 = \ \ 1070 }}$

$\boxed {\bold {\ \ 800 \ + \ \ \ 270 = \ \ 1070}}$

$\boxed {\bold {\ \ 1 070=\ \ 1070 }}$

$\textsf{Se cumple la igualdad }$