Question

Se lanza un proyectil a nivel del suelo con una velocidad de 15 m/s y un ángulo de 400 respecto a la horizontal. Determine
a) La altura máxima alcanzada.
b) El alcance máximo horizontal.
c) El tiempo total de vuelo

Answer 1

a) La altura máxima que alcanza el proyectil es de 4.74 metros

b) El alcance máximo del proyectil es de 22.61 metros

c) El tiempo de vuelo del proyectil es de 1.97 segundos

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

Solución  

a) Determinamos la altura máxima

La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}$

Donde

$\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

Tomamos un valor de gravedad de 9.8 metros por segundo al cuadrado (m/s²)

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(15 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (40^o) }{2 \ . \ 9,8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{225\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ (0.6427876096865)^{2} }{ 19.6\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{225 \ . \ 0.4131759111665 }{ 19.6\ } \ metros }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{92.964580012470 }{ 19.6\ } \ metros }}$

$\boxed {\bold { H_{max} = 4.7430903\ metros }}$

$\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} = 4.74\ metros }}$

La altura máxima que alcanza el proyectil es de 4.74 metros

b) Cálculo del alcance máximo

La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}$

Donde

$\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( 15 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen (2 \ . \ 40^o ) }{ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 225 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } \ . \ sen (80^o ) }{ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 225 \ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ 0.9848077530122 }{ 9.8 \ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 225 \ . \ 0.9848077530122 }{ 9.8 } \ metros }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{221.58174442774 }{ 9.8 } \ metros }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =22.6103 \ metros }}$

$\large\boxed {\bold { x_{max} =22.61 \ metros }}$

El alcance máximo del proyectil es de 22.61 metros

c) Hallamos el tiempo de vuelo

La ecuación del tiempo de vuelo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}$

Donde

$\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (15 \ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (40^o) }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{30\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ 0.6427876096865 }{9.8 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{30\ \ . \ 0.6427876096865 }{9.8 \ } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{19.283628290596 }{9.8 \ } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =1.96771 \ segundos }}$

$\large\boxed {\bold { t _{v} =1.97 \ segundos }}$

El tiempo de vuelo del proyectil es de 1.97 segundos

Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento