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Planilandia trata sobre la vida de un cuadrado que habita en un mundo plano (una realidad bidimensional con longitud y anchura, pero sin altura), en el que convive con otros cuadrados, triángulos, círculos, hexágonos… Los moradores de Planilandia pueden moverse libremente en su superficie, pero no pueden ascender ni descender por ella. Evidentemente, ellos ignoran esta limitación, incapaces de imaginar una tercera dimensión.
Un día, nuestro protagonista tiene un sueño sorprendente. En dicho sueño, se encuentra en un mundo unidimensional, cuyos habitantes son puntos y rayas, capaces de moverse hacia delante y hacia atrás pero siempre sobre la misma línea. Cuando Cuadrado descubre que para los habitantes de Linelandia es inconcebible la idea de moverse a la derecha o a la izquierda (además de hacia delante o hacia atrás) intenta explicarle a la raya más larga de Linelandia (su monarca) la realidad de Planilandia. Por supuesto, tanto el monarca como el resto de habitantes de Linelandia le toman por loco y se arrojan sobre nuestro héroe con intención de lincharle. En ese instante el sonido de una campana despierta a nuestro héroe del sueño.
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