Question

Suponga que se sabe que la estatura de cierta población de individuos sigue una distribución
aproximadamente normal con media de 50 pulgadas y una desviación estándar de 12 pulgadas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar de este grupo tenga
una estatura entre 65 y 74 pulgadas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar de este grupo tenga
una estatura mayor de 90 pulgadas?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar de este grupo tenga
una estatura menor de 45 pulgadas?

Answer 1

La probabilidad de que una persona seleccionada al azar de este grupo tenga una estatura entre 65 y 74 pulgadas es de 0,0923.

Explicación:

La estatura de los individuos de cierta población tiene distribución normal con:

media  =  μ  =  50  pulgadas     y desviación estándar  =  σ  =  12  pulgadas.

Para hallar probabilidades asociadas a esta distribución se usa una tabla de probabilidades acumuladas calculadas como áreas bajo la curva normal estándar (z).

Si definimos la variable aleatoria con distribución normal:

x  =  estatura, en pulgadas, de los individuos de la población

Su estandarización para calcular sus probabilidades en la tabla estándar es:

$\bold{z~=~\dfrac{x~-~\mu}{\sigma}}$

En la tabla se obtienen probabilidades acumuladas hasta el valor en estudio, y se denotan:

$\bold{P(x~<~a)~=~P(z~<~\dfrac{a~-~\mu}{\sigma})}$

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar de este grupo tenga una estatura entre 65 y 74 pulgadas?

Cuando se trabaja con intervalos, las probabilidades se obtienen por diferencias de las probabilidades acumuladas a la cola izquierda de los extremos de dicho intervalo:

$\bold{P(b~<~x~<~a)~=~P(x~<~a)-P(x~<~b)~=~P(z<\dfrac{a-\mu}{\sigma})-P(z~<~\dfrac{b-\mu}{\sigma})}$

En el caso que nos ocupa:

$\bold{P(65~<~x~<~74)~=~P(x~<~74)~-~P(x~<~65)\qquad\Rightarrow}$

$\bold{P(65~<~x~<~74)~=~P(z~<~\dfrac{74~-~50}{12})~-~P(z~<~\dfrac{65~-~50}{12})\qquad\Rightarrow}$

$\bold{P(65~<~x~<~74)~=~P(z~<~2,00)-P(z~<~1,20)~=~0,9772-0,8849\qquad\Rightarrow }$

P(65  <  x  <  74)  =  0,0923

La probabilidad de que una persona seleccionada al azar de este grupo tenga una estatura entre 65 y 74 pulgadas es de 0,0923.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar de este grupo tenga una estatura mayor de 90 pulgadas?

Se desea hallar la probabilidad de que x sea mayor que 90. Dado que la tabla arroja probabilidades acumuladas, es necesario trabajar con el evento complemento para obtener la cola derecha de la distribución:

$\bold{P(x~>~90)~=~1~-~P(x~<~90)~=~1~-~P(z~<~\dfrac{90~-~50}{12})\qquad\Rightarrow}$

$\bold{P(x~>~90)~=~1~-~P(z~<~3,33)~=~1~-~0,9996\qquad\Rightarrow}$

P(x  >  90)  =  0,0004

La probabilidad de que una persona seleccionada al azar de este grupo tenga una estatura mayor de 90 pulgadas es de 0,004.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar de este grupo tenga una estatura menor de 45 pulgadas?

$\bold{P(x~<~45)~=~ P(z~<~\dfrac{45~-~50}{12})~=~P(z~<~-0,42)\qquad\Rightarrow}$

P(x  <  45)  =  0,3372

La probabilidad de que una persona seleccionada al azar de este grupo tenga una estatura menor de 45 pulgadas es de 0,3372.

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