Question

na multinacional del sector de cruceros desea completar un estudio de mercado con 15 entrevistas en profundidad a clientes de sus cruceros con puerto base en Málaga. Uno de los problemas que desea analizar es relativo al alojamiento en el puerto base, y para ello se asumirá el primer escenario del estudio, según el cual el 40 % de estos cruceristas se alojan en establecimientos hoteleros en la ciudad. Se seleccionará aleatoriamente y de forma independiente a 15 cruceristas con puerto base en Málaga y denominaremos X a la variable aleatoria “Número de cruceristas seleccionados que se alojan en establecimiento hotelero en Málaga”

Calcule la probabilidad de que como mucho cinco cruceristas seleccionados se alojen en un establecimiento hotelero en Málaga e interpreta

Answer 1

Hay una probabilidad de  0.4031  de que como mucho  5  cruceristas se alojen en un establecimiento hotelero en Málaga.

Explicación:  

Vamos a considerar que cada crucerista es independiente del resto y que vamos a realizar el experimento de conocer si se alojo en un establecimiento hotelero en Málaga. Esto se conoce como experimento aleatorio dicotómico (dos resultados) y se estudia por medio de la distribución binomial.  

Un experimento aleatorio que consiste de   n   ensayos repetidos tales que:  

1. Los ensayos son independientes,  

2. Cada ensayo tiene solo dos resultados posibles, denominados “éxito” y “fracaso”, y  

3. La probabilidad de éxito en cada ensayo, denotada por    p,    permanece constante recibe el nombre de experimento binomial.  

La variable aleatoria    X    es igual al número de ensayos donde el resultado es un éxito, tiene una distribución binomial con parámetros    p    y     n = 1, 2, 3, ...  

La Probabilidad de    X  =  x  es:

$\bold{P(X~=~x)~=~(\begin{array}{c}n\\x\end{array})\cdot p^x\cdot(1~-~p)^{(n~-~x)}}$

donde    $\bold{(\begin{array}{c}n\\x\end{array})}$    es el número combinatorio:

$\bold{(\begin{array}{c}n\\x\end{array})~=~\dfrac{n!}{(n~-~x)!~x!}}$

 

En el caso que nos ocupa definimos la variable aleatoria binomial  

X  =  Número de cruceristas en la muestra que se alojan un establecimiento hotelero en la ciudad de Malaga  

p  =  0,4 (40%)  

n  =  15

Calcule la probabilidad de que como mucho cinco cruceristas seleccionados se alojen en un establecimiento hotelero en Málaga

Se desea hallar la probabilidad de que x sea igual que 0, 1, 2, 3, 4  o  5:  

$\bold{P(x\leq 5)~=~P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)}$

$\bold{P(x~=~0)~=~(\begin{array}{c}15\\0\end{array})\cdot(0.4)^0\cdot(1~-~0.4)^{(15~-~0)}~=~0.0005}$

$\bold{P(x~=~1)~=~(\begin{array}{c}15\\1\end{array})\cdot(0.4)^1\cdot(1~-~0.4)^{(15~-~1)}~=~0.0047}$

$\bold{P(x~=~2)~=~(\begin{array}{c}15\\2\end{array})\cdot(0.4)^2\cdot(1~-~0.4)^{(15~-~2)}~=~0.0219}$

$\bold{P(x~=~3)~=~(\begin{array}{c}15\\3\end{array})\cdot(0.4)^3\cdot(1~-~0.4)^{(15~-~3)}~=~0.0633}$

$\bold{P(x~=~4)~=~(\begin{array}{c}15\\4\end{array})\cdot(0.4)^4\cdot(1~-~0.4)^{(15~-~4)}~=~0.1268}$

$\bold{P(x~=~5)~=~(\begin{array}{c}15\\5\end{array})\cdot(0.4)^5\cdot(1~-~0.4)^{(15~-~5)}~=~0.1859}$

$\bold{P(x\leq 5)~=~0.0005+0.0047+0.0219+0.0633+0.1268+0.1859~=~0.4031}$

Hay una probabilidad de  0.4031  de que como mucho  5  cruceristas se alojen en un establecimiento hotelero en Málaga.