Question

Exprese en el sistema nonario el menor núme- ro del sistema ternario cuya suma de cifras sea 36. Dé como respuesta la suma de sus cifras. A) 60 B) 65 C) 48 D) 72.

Answer 1

La suma de las cifras de ese número en base 9 es D) 72.

Explicación paso a paso:

En el sistema ternario (de base 3), los únicos dígitos permitidos son 0, 1 y 2. Las posibilidades para que la suma de las cifras sea 36 son:

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

222222222222222222

121212121212121212121212

212121212121212121212121

Las demás posibilidades implican intercalar ceros en la combinación por lo que serán mayores que estos números. Queda que el menor número cuya suma de cifras es 36 es 222222222222222222 porque es el que tiene menor cantidad de cifras. En decimal este número es:

$2.3^0+2.3^1+2.3^2+2.3^3+2.3^4+2.3^5+2.3^6+2.3^7+2.3^8+2.3^9+2.3^10+2.3^11\\+2.3^12+2.3^13+2.3^14+2.3^15+2.3^16+2.3^17=\\\\=2.1+2.3+2.9+2.27+2.81+2.243+2.729+2.2187+2.6561+\\+2.19683+2.59049+2.177147+2.531441+2.1594323+\\+2.4782969+2.14348907+2.43046721+2.129140163\\\\=387420488$

Ese número en el sistema nonario (de base 9) lo hallamos aplicando la división sucesiva, comenzando por el último dígito, los restos son los dígitos del número:

387420488:9=43076720, r=8

43076720:9=4782968, r=8

4782968:9=531440, r=8

531440:9=59048, r=8

59048:9=6560, r=8

6560:9=728, r=8

728:9=80, r=8

80:9=8, r=8

8:9=0, r=8

Vemos que el número en base 9 es 888888888, la suma de las cifras es 8+8+8+8+8+8+8+8+8=72