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Respuesta:
artículas que forman el núcleo y las interacciones entre ellas. Desafortunadamente
dicho conocimiento no alcanza para determinar directamente el comportamiento de un
sistema nuclear de muchos cuerpos. Esto se debe a la gran complejidad matemática del
problema. Por supuesto este tipo de inconveniente no es exclusivo del problema nuclear.
Algo similar ocurre al considerar una gota líquida, un volumen de gas, el sistema
planetario, un átomo pesado, etc. Sin embargo, en casos tales como los dos primeros el
número de partículas es tan grande que uno puede aplicar métodos estadísticos. En
otros, como por ejemplo en los dos últimos, existe un centro de fuerzas de manera que
la interacción de las partículas con dicho centro es mucho más fuerte que las fuerzas
entre ellas y, por lo tanto, estas últimas pueden entonces ser tratadas como una
perturbación de la fuerza de interacción con el centro. En el caso nuclear (y esto es lo
que hace el problema particularmente difícil) hay muy pocas partículas como para tratar
al sistema en forma estadística y no existe un centro de fuerzas que permita tratar la
interacción entre las partículas como una perturbación.
Si bien en los últimos 50 años ha habido grandes progresos en el desarrollo de
métodos matemáticos para tratar el problema nuclear desde un punto de vista de
“primeros principios”, ha sido principalmente a través de la propuesta de distintos
modelos que se llegó a comprender buena parte de la física nuclear. La idea de un
modelo es buscar una situación física que sea conocida y cuyas propiedades se asemejen
a las del sistema de interés (un núcleo en nuestro caso). Entonces se estudia el modelo
en detalle esperando que las nuevas propiedades que se puedan descubrir también sean
propiedades del sistema. Este proceso de extrapolación tiene, por supuesto, que fallar en
algún punto, pero es sorprendente hasta cuan lejos se puede llegar mediante él. Es
importante destacar que aún cuando el modelo comience a fallar, el entender porqué
esto sucede puede ser de gran interés permitiendo la modificación y mejora del modelo.
Por supuesto, ningún modelo puede explicar todas las características conocidas de los
núcleos y por lo tanto es necesario recurrir a distintos tipos de modelos según lo que nos
interese describir.
Los modelos desarrollados a lo largo del tiempo cubren una gran gama de
posibilidades: desde modelos donde los nucleones interactúan débilmente (modelos de
partícula independiente), hasta modelos con nucleones fuertemente correlacionados
(modelos colectivos). Claramente, la situación real está en algún punto intermedio entre
estas aproximaciones extremas y contradictorias entre sí. Modelos que intentan conciliar
ambas situaciones extremas han sido desarrollados (modelos unificados).
Los modelos de partícula independiente que trataremos en este capítulo son el
modelo de gas de Fermi y el modelo de capas. Entre los modelos colectivos
describiremos el modelo de la gota líquida y el modelo rotacional-vibracional. Al final
del capítulo daremos una breve descripción del así llamado modelo unificado.
5.2 Modelo del gas de Fermi
Versión preliminar 20/04/04
2
Tal vez uno de los primeros modelos nucleares fue el propuesto por H. Bethe en
1935. En este modelo se considera que si se desprecian las fuerzas entre pares de
nucleones y se toma en cuenta una fuerza promedio sobre cada nucleón representada
por el hecho de que todos estos están contenidos en una esfera de volumen Ω y radio R
= r0 A1/3, entonces el núcleo puede tratarse como un gas cuántico.
Hay que notar que un gas cuántico de fermiones tiene propiedades muy distintas
a las de un gas clásico. En un gas clásico real las interacciones entre partículas crecen
en importancia a medida que se baja la temperatura a presión constante. Por lo tanto el
comportamiento del sistema se aparta cada vez más del comportamiento de un gas ideal.
En el caso del gas de Fermi, en cambio, todos los niveles más bajos están ocupados. De
esta manera, la transferencia de energía y momento entre partículas, que son una
consecuencia normal de las fuertes fuerzas de interacción existentes entre partículas,
están prohibidas por el principio de exclusión de Pauli. Consecuentemente, a bajas
temperaturas el sistema tiende a comportarse como un gas cuántico ideal. Este hecho da
una justificación para despreciar la interacción entre partículas en este tipo de modelo.
Para calcular la distribución de partículas vamos a suponer que las mismas se
encuentran encerradas en un cubo de lado a, y por lo tanto, de volumen Ω = a
3
. Las
soluciones de la ecuación de Schoedinger correspondiente son
( ) () sin sin sin ( ) ( ) xyz ψ x, y,z k x k y k y = N (5.1)
donde N es una constante de normalización y
; ; x x yy zz ka m=== π ka m π k
Explicación:
Respuesta:
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