Question

hallar el vertice de cada funcion cuadratica ...resuelva delasdosformas..
1. f(x)=2x(elevado a la dos)+12x+15
2. f(x)= 4x(elevado a la dos)-2x-5
3. f(x)=x(elevado a la dos)+3x+2
4. f(x)=2x(elevado a la dos)+5x
5. f(x)=-x(elevado a la dos)+16x+8

Answer 1

Hola!
como todas son funciones cuadraticas, su dominio seran todos los reales.

ahora bien, para el rango de cada una de las 5 funciones, debemos despejar x, asi que vamos por ello!

1) f(x) = 2x^2 + 12x + 15
como f(x) es lo mismo que "y", tambien como es una ecuacion cuadratica su grafica sera una parabola, y donde este el vertice, de esa parabola hallaremos el rango, para ello haremos lo siguiente:

el vertice de una parabola de la forma ax^2 + bx + c, usaremos esta pequeña formula donde x = - b / 2a
entonces reemplacemos valores.
a = 2 ; b = 12 ; c = 15

x = -(12)/2(2)
x = - 3 ---> tenemos el valor x del vertice, este valor lo reemplazamos en la ecuacion original para hallar y

y = 2x^2 + 12x + 15
y = 2(-3)^2 + 12(-3) + 15
y = -3 ---> obtenemos el valor de y

ya tenemos el vertice de la parabola que sera V ( -3 ; -3)

entonces como el 2 que esta antes de la x es positivo la parabola se abre hacia arriba, por lo que su rango queda definido de y € [-3 ; infinito)

PARA LOS DEMAS EJERCICIOS ES EL MISMO PROCEDIMIENTO, POR LO QUE NO PONDRE LO MISMO SOLO LAS RESPUESTAS!

2) f(x) = 4x^2 - 2x - 5
Dom : x € R
Vertice
x = -b/2a
a = 4 ; b = -2 ; c = -5
x = -(-2)/2(4)
x = 1/4

y = 4x^2 - 2x - 5
y = 4(1/4)^2 - 2(1/4) - 5
y = -21/4

V ( 1/4 ; -21/4)

Ran : y € [ -21/4 ; infinito)

3) f(x) = x^2 + 3x + 2
Dom: x € R
Vertice
x = -b/2a
a = 1 ; b = 3 ; c = 2
x = -(3)/2(1)
x = -3/2
y = -1/4
V ( -3/2 ; -1/4)

Ran : y € [ -1/4 ; infinito)

4) f(x) = 2x^2 + 5x
Dom: x € R
V ( -5/4 ; -25/8)
Ran: y € [ -25/8 ; infinito)

5) f(x) = -x^2 + 16x + 8
Dom : x € R
V ( 8 ; 72)
Ran : [ 72 ; - infinito)
en este caso como antes de la x^2 esta el signo (-) , la parabola se abre hacia abajo.

bueno eso es todo espero haberte ayudado, en los ultimos no puse todo el procedimiento porque ya esta en el primero y es exactamente igual para los demas.

Suerte!