Question

3. Se requiere construir una caja de base rectangular y tapa cuadrada con 320 cm3 de volumen. El material con el que se elaboran las cajas tiene un costo de 25 mil pesos por cm2 para las paredes laterales, 15 mil pesos por cm2 para la base y mil pesos por cm2 para la tapa. Según la información anterior:
a. Exprese el costo de la caja mediante una función de X, donde X represente la longitud de la base
b. Halle el dominio de la función
c. Grafique la función con la ayuda de una hoja de cálculo
d. Encuentre las dimensiones que minimizan el costo de fabricación de la caja

Answer 1

El costo de la caja será la suma de los costos de los 4 lados más la base más la tapa.

El costo de cada lado, tapa y base, se calcula como la suma de los productos del costo unitario del material por cm^2 por cada área.

Se debe suponer que la base es un cuadrado, ya que su forma debe coincidir con la de la tapa.

Se llama x al lado de base y la tapa, y se llama h al alto de la caja.

Los 4 lados tendrán dimensiones x*h, 

Por lo tanto su costo será 4* 25.000 * x*h = 100.000 xh

La base y la caja tienen superficie x^2 y el costo de las dos será: 15.000x^2 + 1000 x^2 = 16.000 x^2.

Por otro lado, puedes relacionar h con x, a través del volumen que es conocido: V = h * x^2 => h = V / x^2.

Por tanto, la fórmula del costo queda como:

C(x) = 100.000 xh + 16.000 x^2 = 100.000 x*V/ x^2 + 16.000 x^2 =

= 100.00 V/x + 16.000 x^2 = 100.000 (320) / x + 16.000 x^2

a) C(x) = 32.000.000 / x + 16.000 x^2.

b) El dominio de la función es x > 0

c) La gráfica con la función hecha con hoja de cálculo se encuentra en el archivo pdf anexo.

Allí verás que hice la gráfica dos veces. Fue para mostrar el mínimo costo con mayor claridad, cuando se hacen los cálculos en puntos cercanos a este.

d) Las dimensiones resultantes son:

Lado de la caja: 10 cm

Alto = 320 / (10)^2 = 3,2 cm.

El costo mínimo resultante fue 480.000



 

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