Question

Desde lo alto de un faro de 120 m de altura se observa hacia el noroeste dos embarcaciones, segun los angulos de depresion 75° y 25°, respectivamente ¿cual es la distancia entre ambas embarcaciones

Answer 1

La distancia entre ambas embarcaciones es de 225.19 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Solución

Representamos la situación en dos triángulos rectángulos. El BCD el cual está conformado por el lado CD que equivale a la altura del faro, el lado CB que es la distancia desde la base del faro hasta la embarcación más cercana, -a la cual llamaremos distancia "y"- y el lado DB que es la proyección visual a la embarcación con un ángulo de depresión de 75°. Y el triángulo ACD donde el lado CD equivale a la altura del faro, -donde este cateto es el mismo para ambos triángulos- , el lado AC que representa la distancia desde la base del faro hasta la embarcación más lejana - a la cual llamaremos distancia "x"-, y el lado CE que es la proyección visual a la segunda embarcación con un ángulo de depresión de 25°

Donde se pide hallar la distancia entre ambas embarcaciones

Siendo la distancia "x" la longitud hasta la embarcación más cercana desde la base del faro

Y la distancia "y" la distancia hasta la embarcación más alejada de la base del faro

Halladas las distancias "x" e "y", determinaremos la distancia entre ambas embarcaciones restando de la distancia "y" la distancia "x"

Por ser ángulos alternos internos- que son homólogos- se trasladan los ángulos de 75° y de 25° a los puntos B y A respectivamente para facilitar la situación

Esto se puede observar en el gráfico adjunto

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Como sabemos el valor del cateto opuesto -que es la altura del faro-  y conocemos los ángulos de depresión de 75° y de 25° y debemos hallar las distancias "x" e "y", - ambos catetos adyacentes- en cada uno de los triángulos rectángulos determinaremos ambas distancias mediante la razón trigonométrica tangente

Hallamos la distancia "y" en BCD

$\boxed{\bold { tan(75^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(75^o) = \frac{ altura\ faro \ }{ distancia \ y } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{ altura\ faro }{ tan(75^o)} } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{120 \ m }{3.7320508075688 } } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ y = 32.15 \ m } }$

Hallamos la distancia "x" en ACD

$\boxed{\bold { tan(25^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(25^o) = \frac{ altura\ faro \ }{ distancia \ x } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ altura\ faro }{ tan(25^o)} } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{120 \ m }{0.4663076581549 } } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ x = 257.34 \ m } }$

Hallamos la distancia entre las dos embarcaciones

$\boxed{\bold { Distancia \ entre \ Embarcaciones = distancia \ x -\ distancia \ y } }$

$\boxed{\bold { Distancia \ entre \ Embarcaciones= 257.34 \ m -\ 32.15 \ m } }$

$\large\boxed{\bold {Distancia \ entre \ Embarcaciones = 225.19 \ m } }$

La distancia entre ambas embarcaciones es de 225.19 metros