Question

Un ingeniero agrónomo ha determinado que el precio de venda de un tipo de legumbre está dado por:

P(x)=158,884x2+100/√40,975x4−32x3+55x2−3000
donde P se mide en pesos pesos cuando se producen x unidades al mes. Determine el precio de venta asintótico, es decir, cuando su producción tiende a infinito.

Answer 1

Si la producción del tipo de legumbre tiende a infinito el precio de venta asintótico es, aproximadamente,  24,82  pesos.

Explicación:

Para determinar el precio de venta asintótico debemos evaluar la función cuando el nivel de producción tiende a infinito.

Esta evaluación de la función no es posible, ya que no hay un valor específico en que hacerla; sin embargo se puede evaluar la tendencia por medio de un límite al infinito:

$\bold{L~=~ \lim_{x \to \infty} [f_{(x)}] ~=~\lim_{x \to \infty} [\dfrac{158,884x^2~+~100}{\sqrt{40,975x^4~-~32x^3~+~55x^2~-~3000}}]}$

Resolver un límite como este requiere dividir todos los términos entre    x    con el mayor exponente, en este caso  2. (ingresa al radical con exponente  4, pues se multiplica por el índice del radical)

$\bold{L~=~\lim_{x \to \infty} [\dfrac{\dfrac{158,884x^2}{x^2}~+~\dfrac{100}{x^2}}{\sqrt{\dfrac{40,975x^4}{x^4}~-~\dfrac{32x^3}{x^4}~+~\dfrac{55x^2}{x^4}~-~\dfrac{3000}{x^4}}}]}$

Se simplifica lo que se puede y se evalúa. Todos los términos con  x  en el denominador tienden a cero

$\bold{L~=~\lim_{x \to \infty} [\dfrac{158,884~+~\dfrac{100}{x^2}}{\sqrt{40,975~-~\dfrac{32}{x}~+~\dfrac{55}{x^2}~-~\dfrac{3000}{x^4}}}]\qquad\Rightarrow}$

$\bold{L~=~\dfrac{158,884}{\sqrt{40,975}}~\approx~24,82}$

Si la producción del tipo de legumbre tiende a infinito el precio de venta asintótico es, aproximadamente,  24,82  pesos.