• Asignatura: Matemáticas
  • Autor: miguelito26bateria
  • hace 2 años

En una proporcion geometrica continua, el primer termino es 1/9 del cuarto termino, si la suma de los 4 terminos de la proporcion es 64. Hallar el termino medio de la proporcion

Respuestas

Respuesta dada por: luchosachi
2

Respuesta:

El término medio es 12.

Explicación paso a paso:

Por ser proporción geométrica continua, tiene la siguiente forma:

\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=k

En donde, "a" es el primer término; "b" es el término medio, que se repite; y "c" es el cuarto término.

El ejercicio dice que el primer término es 1/9 del cuarto término; es decir:

a=\frac{c}{9}

lo cual equivale a decir que  

c=9a

Igualmente, gracias a la proporción, puede establecerse esta igualdad entre producto de medios y producto de extremos:

a*c=b*b

es decir:  

ac=b^{2}

pero  

c=9a

por lo que podemos reemplazar a c por dicho valor y tenemos:

9a*a=b^{2}

es decir:  

9a^{2}=b^{2}

Si extraemos raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad, tenemos:

\sqrt{9a^{2}}=\sqrt{b^{2}}

es decir, entre los exponentes y los radicales se cancelan y sacamos raíz cuadrada a 9:  

3a=b

Ahora que tenemos las equivalencias de "b" y "c", podemos ensamblar la ecuación sobre la suma de los 4 términos, así:

a+b+b+c=64\\a+2b+c=64

haciendo los reemplazos con las equivalencias encontradas, se tiene:

a+6a+9a=64\\16a=64\\\\a=\frac{64}{16}\\\\a=4

Si b=3a, entonces

b=3*4

b=12  este es el término medio

Despejemos c, para verificar si el resultado cumple con las condiciones del problema:

c=9a

c=9*4

c=36

Efectivamente, 4 que vale "a" es 1/9 de 36 que vale "c"

La suma de a+2b+c debe dar 64

4+2(12)+36=64 Ok.

Pero verifiquemos también con el postulado que dice: "En la proporción geométrica continua se cumple que la media proporcional es igual a la raíz cuadrada del producto de los términos extremos"

según lo anterior:

12=\sqrt{4*36}\\12=\sqrt{144}\\12=12OK.

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