Question

Cuando en una ecuación diferencial de la forma M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, sucede que: aM/ay=aN/ax, se dice que la ecuación es exacta, en caso contrario la ecuación diferencial no es exacta y es posible convertirla en una ecuación exacta multiplicándola por un factor apropiado u=(x,y), llamado factor integrante, el cual se calcula si está en función de a través de la fórmula

Answer 1

Bien, de la ecuación diferenciales tenemos los siguientes términos,

$\displaystyle(2x^{2}y)dx+(4x^{3}-1)dy=0 \\\\ M(x,y)=2x^{2}y \longrightarrow\frac{\partial M}{\partial y}=M_{y}=2x^{2}\\ N(x,y)=4x^{3}-1\longrightarrow\frac{\partial N}{\partial y}=N_{x}=12x^{2}$

bien, hemos visto que   $M_{y}\neq N_{x}$ por lo tanto no es exacta debemos hacerla, para eso encontramos el factor integrante, que tiene dos formas,

$\mu(x)=\displaystyle e^{\int{\frac{M_{y}-N_{x}}{N}}dx} \\\mu(y)=\displaystyle e^{\int{\frac{N_{x}-M_{y}}{M}}dy}$

debemos probar cualquiera de las dos para determinar el factor integrante.

El propósito es que haciendo esas operaciones todo el resultado debe depender únicamente de equis o únicamente de ye, POr suerte entre las opciones ya nos dice que encontremos $\mu(y)$ entonces nos ahooramos estar intentando por otros lados, bien,

$\displaystyle e^{\int{\frac{N_{x}-M_{y}}{M}}dy}=e^{\int{\frac{12x^{2}-2x^{2}}{2x^{2}y}}dy}=e^{\int{\frac{10x^{2}}{2x^{2}y}}dy}=e^{\int{\frac{5}{y}}dy}=e^{5\int{\frac{1}{y}}dy}=e^{5\ln(y)}$

usando las propiedades de los logaritmos, $a\ln(x)=\ln(x^{a})$ entonces,

 $\mu(y)=e^{\ln(y^{5})}$

además sabemos que $e^{\ln(x)}=x$ entonces el factor integrante será,

 $\mu(y)=y^{5}$

respuesta: D

mulltiplicando todo la ecuación diferencial por éste factor integrante se convierte en exacta y ese procedimiento es más fácil¡...