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El valor de "n", sin que 420 × 12ⁿ tiene 180 divisores, es 3.
Planteamos una igualdad, sabiendo que los divisores de n son 180.
El primer paso es buscar los factores primos de 420 y de 12, y proceder con el cálculo de los divisores:
420 = 2² × 3 × 5 × 7
12ⁿ = (2² × 3)ⁿ → 2²ⁿ × 3ⁿ
a = 2² × 3 × 5 × 7 × 2²ⁿ × 3ⁿ
a = 2²ⁿ ⁺ ² × 3ⁿ ⁺ ¹ × 5 × 7
Cálculo de divisores:
(2n + 1 + 1)(n + 1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 180
(2n + 2)(n + 2)(2)(2) = 180
4(2n² + 4n + 3n + 6) = 180
2n² + 7n + 6 = 45
2n² + 7n – 39 = 0
4(n – 3)(2n + 13) = 0
n₁ = 3
n₂ = -6,5
Descartamos el valor negativo, por lo que el valor de n es igual a 3.
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