Question

Un jugador le pega a un balón con un ángulo de 60º con respecto a la horizontal, comunicándole una velocidad inicial de 20m/s.
Calcular:
a) El tiempo que dura la pelota en el aire. b) La altura máxima alcanzada. c) El alcance horizontal de la pelota.
Por favor lo necesito para yaaa):

Answer 1

a) El tiempo de vuelo de la pelota es de 3.46 segundos

b) La altura máxima que alcanza el balón es de 15 metros

c) El alcance máximo de este es de 34.64 metros

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

a) Tiempo de vuelo

La ecuación del tiempo de vuelo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}$

Donde

$\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Consideramos el valor de la gravedad } \bold {10 \ \frac{m}{s^{2} } }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (20\ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (60^o) }{10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 60 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{2} }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{20\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} }{10 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{40\ \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} }{10 } \ s }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{\not2 \ . \ 20\ \ . \ \frac{\sqrt{3} }{\not2} }{10 } \ s }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{ 20\sqrt{3} }{10 } \ s }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{ 2 \ . \not 10\sqrt{3} }{\not10 } \ s }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =2\sqrt{3} \ s }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =3.46101 \ segundos }}$

$\large\boxed {\bold { t _{v} =3.46 \ segundos }}$

El tiempo de vuelo de la pelota es de 3.46 segundos

b) Altura máxima

La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}$

Donde

$\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil}$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(20 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (60^o) }{2 \ . \ 10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 60 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{2} }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{400\ \frac{m^{2} }{ s^{2} } \ . \ \left(\frac{\sqrt{3} }{2}\right )^{2} }{ 20\ \frac{m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{400\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ \frac{3}{4} }{ 20\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{400\ \ . \ \frac{3}{4} }{ 20\ } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ \frac{1200}{4} }{ 20\ } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ 300 }{20\ } \ m }}$

$\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} = 15\ metros }}$

La altura máxima que alcanza el balón es de 15 metros

c) Alcance horizontal o máximo

La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}$

Donde

$\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil}$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ (20 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen (2 \ 60 ^o) }{ 10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{400\ \frac{m^{\not2} }{\not s^{2}} \ . \ sen (120 ^o) }{ 10 \ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 120 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{2} }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{400 \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} }{ 10 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{\not2 \ . \ 200\ \ . \ \frac{\sqrt{3} }{\not2} }{ 10 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 200\ \ . \ \sqrt{3} }{ 10 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{\not10 \ . \ 20\ \ . \ \sqrt{3} }{ \not10 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =20 \sqrt{3} \ m }}$

$\large\boxed {\bold { x_{max} =34.64 \ metros }}$

El alcance máximo del balón es de 34.64 metros

Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento

Como se puede apreciar se describe una parábola