Factoriza e indica la suma de factores primos. P(x) = x elevado a la 2 + 8x + 15
a) 2x+8
b) 8-2X
c) 2x
d) 8
Respuestas
Explicación paso a paso:
1. S O L U C I Ó N 1 BIMONTHLY EXAM OF ALGEBRA Problema 1 Factorizar: 6x2 − 7xy + 2y2 + 12x − 7y + 6 La suma de los coeficientes de unos de sus factores primos es: Solución Aplicando aspa doble 6x2 −7xy +2y2 +12x −7y +6 3x +2y 3 2x −1y 2 Agrupando términos tenemos (3x − 2y + 3).(2x − y + 2) ΣCoe f icientes = 2 − 1 + 2 = 3 Problema 2 Si el polinomio: T(x) = x2 + (2m − 1)x + (m + 1)(m − 2) Es factorizable mediante un aspa simple (en los enteros), además: m Z m 13, indique un factor primo:
2. 1 BIMONTHLY EXAM OF ALGEBRA Solución x2 +(2m − 1)x +(m + 1)(m − 2) x (m + 1) x (m − 2) (x + m + 1).(x + m − 2) x + m + 1 Problema 3 Un teatro tiene hasta el momento 143 butacas habilitadas y cada 20 de marzo de cada año, se adquiere un número de butacas igual al número de factores primos de: p(x,y) = 12x2 + 2xy2 − 2y4 + 9x − 3y2 . ¿ Cuántas butacas en total tendrá el teatro en su aniversario que será el 19 de marzo del 2025? Solución Aplicando aspa doble 12x2 +2xy2 −2y4 +9x −3y2 +0 4x +2y2 3 3x −1y2 0 Agrupando términos tenemos: (4x + 2y2 + 3).(3x − y2) #FP = 2 #Butacas = 143 + 6(2) = 155 Problema 4 Tomas es un matemático brillante de la Facultad de Ciencias Matemáticas de la UNMSM y él se percata que h(x) es un factor primo de: p(x) = 6x5 − 20x4 + 63x3 − 118x2 + 165x − 44. en [x], el cual genera números primos para los primeros 11 enteros no negativos. Halle la suma del mayor número primo con el menor número primo generado por h(x). 2
3. PROFESOR MARCO ALPACA ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICA Solución Utilizando el teorema de las raíces racionales. Por lo tanto a (±1, ±2, ±4, ±11, ±22, ±44) y b (±1, ±2, ±3, ±6) Al formar todos los posibles números racionales a/b con estas elecciones de a y b, y probando todos estos posibles valores por la división sintética, se halla que x=1/3 es una raíz. 3x − 1 = 0 6 -20 63 -118 165 -44 x = 1/3 2 -6 19 -33 44 ÷3 6 -18 57 -99 132 0 2 -6 19 -33 44 Ahora aplicando aspa doble especial tenemos: (3x − 1) 2x4 −6x3 +19x2 −33x +44 2x2 0x 11 = 11x2 1x2 −3x 4 = 8x2 0x2 19x2 Agrupando términos tenemos: p(x) = (3x − 1).(2x2 + 11).(x2 − 3x + 4) h(x) = 2x2 + 11 h(0) = 11 h(10) = 211 Σ = 11 + 211 = 222 Problema 5 Al factorizar el polinomio p(x) = (x − 1)4 + 5(x − 1)2 + 9 en Z [x],determine el resto de dividir la suma de los factores primos de p(x) por x+2. Solución Ahora aplicando aspa doble especial tenemos: 3