Question

la consistencia de un helado cambia cuando su temperatura sale de un cierto rango definido por la expresion: 2x^2+x+8≥(x-2)^2, donde x representa la temperatura en grados centigrados. Determine los rangos en los cuales la consistencia del helado cambia.

Answer 1

La desigualdad 2x^2+x+8 ≥ (x-2)^2 establece la condición en la que la temperatuta modifica la consistencia del helado.

Por tanto, hay que resolver la inecuación para hallar los intervalos que satisfacen la condición:

Empieza por resolver el producto notable del miembro derecho:

 
2x^2+x+8 ≥ x^2 - 4x + 4


Elimina los miembroes de la derecha mediante restar x^2, sumar 4x y restar 4 a ambos miembreos:

2x^2 - x^2 + x + 4x + 8 - 4 ≥ 0

x^2 + 5x + 4 ≥ 0

Ahora factoriza:

(x + 4) (x + 1) ≥ 0

Las soluciones se hallan si los dos factores son mayores o iguales a cero y si los dos factores son menores o iguales a cero.

Caso 1: los dos factores menores o iguales que cero:

x + 4 ≤ 0 y x + 1 ≤ 0 => x ≤ -1 => (-∞, -4]

Caso 2: los dos factores mayores o iguales a cero

x + 4 ≥ 0 y x + 1 ≥ 0 => x ≥ - 1 => [-1,∞)

Y la solución completa es la unión de los dos intervalos:

(-∞, -4] U [-1, ∞)

Respuesta: la consistencia del helado cambia cuando la temperatura es mejor o igual a -4°C y cuando es mayor o igual que -1°C.