Suponga que a
varia conjuntamente con b,
y c. Considere que a= 12 cuando b= 1 y c = 6.
Si b=2 y c = 3 hallar el valor de a.
Respuestas
Respuesta:
hola
Explicación paso a paso:
A. Exprese el enunciado con una ecuaci´on. (k es la constante de proporcionalidad)
1. A es conjuntamente proporcional a la ra´ız cuadrada de X y al cuadrado de Y
A = kY 2
√
X
2. P var´ıa directamente con el cubo de Y .
P = kY 3
3. T var´ıa inversamente con el cuadrado w.
T =
k
w2
4. Q es conjuntamente proporcional con l, v y u.
Q = klvu
5. Y es inversamente proporcional al cubo de m y proporcional a la ra´ız cubica
de t.
Y =
k
√3
t
m3
B. Exprese el enunciado con una ecuaci´on. Utilice los datos provistos para determinar
la constante de proporcionalidad.
1. Y es directamente proporcional a X. Si Y = 2 entoces X = 4.
Modelo de variaci´on: Y = kX
Debemos hallar k, constante de proporcionalidad. Y = kX =⇒ 2 = k(4) por
lo tanto k =
2
4 =
1
2
.
Sustituyendo tenemos Y =
1
2X
2. W es inversamente proporcional al cuadrado de r. Cuando W = 10, r = 5.
Modelo de variaci´on: W =
k
r
2
Debemos hallar k, constante de proporcionalidad. W =
k
r
2 =⇒ 10 = k
5
2
10 = k
25 por lo tanto k = 10 ∗ 25 = 250.
Sustituyendo tenemos W =
250
r
2
3. Z var´ıa directamente a la raiz cuadrada de t. Si Z = 8 entonces t = 25.
Modelo de variaci´on: Z = k
√
t
Debemos hallar k, constante de proporcionalidad. Z = k
√
t =⇒ 8 = k
√
25
8 = k ∗ 5 por lo tanto k =
8
5
.
Sustituyendo tenemos Z =
8
5
√
t
1
4. V es conjuntamente proporcional a x, y y z. Cuando V = 30, x = 5, y = 1 y
z = 3. Modelo de variaci´on: V = k ∗ x ∗ y ∗ z
Debemos hallar k, constante de proporcionalidad. V = k ∗ x ∗ y ∗ z =⇒
30 = k ∗ 5 ∗ 1 ∗ 3
30 = k ∗ 15 por lo tanto k =
30
15 = 2.
Sustituyendo tenemos V = 2 ∗ x ∗ y ∗ z
5. La velocidad de una bicicleta es proporcional al cuadrado de la distancia recorrida por la bicicleta. Cuando la velocidad es 45 millas por horas la distancia
recorrida es de 10 millas.
velocidad = v
distancia = d
Modelo de variaci´on: v = k ∗ d
2
Debemos hallar k, constante de proporcionalidad. v = k ∗ d
2 =⇒ 45 = k ∗ 102
45 = k ∗ 100 por lo tanto k =
45
100 =
9
20 = 0.45
Sustituyendo tenemos v =0.45∗d
2
C. Resuelva cada problema presentando todo el procedimiento.
1. La Ley de Hooke para un resorte establece que el tama˜no del alargamiento
(o compresi´on) var´ıa directamente seg´un sea la fuerza que se le aplique. Una
fuerza de 40 libras alarga el resorte 8 pulgadas.
a. Escribir una ecuaci´on que relacione la distancia alargada con la fuerza aplicada.
distancia alargada = d
fuerza aplicada = f
Modelo de variaci´on: d = k ∗ f
Lo primero que debemos hallar es k, constante de proporcionalidad. Entonces 8 = k ∗ 40 =⇒ k =
8
40 =
1
5
Ahora el Modelo de variaci´on es d =
1
5
∗ f.
b. ¿Cu´anto alargar´a el resorte una fuerza de 30 libras?
Utilizando el Modelo de variaci´on d =
1
5
∗ f y sustituyendo a f = 30
Tenemos d =
1
5
∗ 30 =⇒ d =
30
5 = 6.
El resorte alargar´a 6 pulgadas cuando hacemos una fuerza de 30 libras.
2
2. La Ley de los gases enuncia que el volumen de un gas encerrado var´ıa directamente con la temperatura y es inversamente proporcional a la presi´on.
La presi´on de un gas es de 25 kilogramos por cent´ımetro cuadrado cuando la
temperatura es de 100 grados y el volumen es de 200 cent´ımetros c´ubicos.
a. Escribir una ecuaci´on que relacione la presi´on, la temperatura y el volumen
del gas.
Volumen = V
temperatura= t
presi´on = p
Modelo de variaci´on: V =
kt
p
Lo primero que debemos hallar es k, constante de proporcionalidad. Entonces 200 = k∗100
25 =⇒ k =
200∗25
100 = 50
Ahora el Modelo de variaci´on es V =
50t
p
.
b. Encontrar la presi´on cuando la temperatura es de 135 y el volumen sea de
150 cent´ımetros c´ubicos.
Utilizando el Modelo de variaci´on V =
50t
p
Sustituyendo los datos provistos tenemos 150 = 50∗135
p =⇒ p =
50∗135
150 = 45.
Por lo que la presi´on cuando la temperatura es de 135 y el volumen sea de
150 cent´ımetros c´ubicos es 45 kilogramos por cent´ımetro cuadrado.
3. Diego est´a en un concierto de Rock donde la intensidad del sonido de las bocinas
var´ıa inversamente a la raiz cuadrada de la distancia en que se encuentran las
personas de la tarima.
a. Si la intensidad del sonido a 9 m desde la tarima son 2 unidades, ¿cu´al es
la intensidad del sonido a 25 m de la tarima?
Intensidad= I
Distancia= d
Modelo de variaci´on: I = √
k
d
Hallaremos k, constante de proporcionalidad, utilizando datos provistos.
Sustituyendo tenemos 2 = √
k
9
=⇒ k = 2√
9 = 2(3) = 6
Ahora el modelo de variaci´on es I = √
6
d
Para contestar la pregunta debemos sustituir d = 25 m y tenemos que
I = √
6
25 =
6
5