Question

la consistencia de un helado cambia cuando su temperatura sale de un cierto rango definido por la expresion: 2x^2+x+8≥(x-2)^2, donde x representa la temperatura en grados centigrados. Determine los rangos en los cuales la consistencia del helado cambia.

Answer 1

2x²+x+8≥(x-2)²
Resolvemos la inecuación
2x²+x+8≥x²-4x+2
x²+5x+6 ≥ 0

Para estudiar la inecuación, primero debemos conocer las raíces de la ecuación de segundo grado. 
Por ello aplicamos la ecuación de resolución de ecuaciones de segundo grado para x²+5x+6 = 0

x= -5 +√ (5²)-(4x1x6) / 2 = -5 + 1 / 2 = -2
x= -5 -√ (5²)-(4x1x6) / 2 = -5 - 1 / 2 = -3

Por tanto reescribimos la inecuación x²+5x+6 ≥ 0 como:
(x+2)(x+3)≥ 0 

Ahora tenemos que estudiar en qué intervalos se cumple el producto de nuestra inecuación.

Siendo los límites:
                              (-∞,-3]    [-3,-2]     [-2,+∞)
                  (x+2)       -              -               +
                  (x+3)       -              +              +
         (x+2)(x+3)       +             -               +

Explico sólo el primer intervalo (-∞,-3].
Se cogería un número de ese intervalo, por ejemplo el x=-4, y se sustituye en (x+2), lo que daría un número negativo. Lo mismo con (x+3), daría negativo. Pero el producto de ambos, sería un valor positivo, por lo que se cumple el producto de la inecuación de ser mayor o igual que cero.

Por tanto la solución sería x entre (-∞,-3]∪[-2,+∞)