La suma de los ángulos internos de dos polígonos regulares convexos difieren en 720º y sus ángulos centrales difieren en 7,5º. Luego sus números de lados suman.
Respuestas
Los polígonos regular tienen respectivamente 12 y 16 lados por lo que la suma del número de lados es 28
La suma de los ángulos internos de un polígono regular de "n" lados es igual a:
S = (n - 2)*180°
El ángulo central de un poligono de "n" lados es igual a:
α = 360°/n
Sean dos polígonos con lados n1 y n2 donde n1 es mayor que n2: tenemos que la suma de los ángulos internos de ellos difieren en 720°
(n1 - 2)*180° - (n2 - 2)*180° = 720°
(n1 - 2 - n2 + 2)*180° = 720
(n1 - n2) = 720°/180°
1. (n1 - n2) = 4
2. n1 = 4 + n2
Tenemos además que sus ángulos centrales difieren en 7,5° (el que tiene mayor número de lados tiene menor ángulo central)
360°/n2 - 360°/n1 = 7,5°
(360°*n1 - 360°*n2)/(n1*n2) = 7,5°
360°*(n1 - n2)/(n1*n2) = 7,5°
n1 - n2 = 7,5°*n1*n2/360°
3. n1 - n2 = n1*n2/48
Sustituimos 1 y 2 en 3:
4 = (4 + n2)*n2/48
4*48 = 4n2 + n2²
n2² + 4n2 - 192 = 0
(n2 - 12)*(n2 + 16) = 0
Como n2 debe ser natural entonces n2 = 12, por lo tanto sustituyendo en 2:
n1 = 4 + 12 = 16
Los números de lados suman: 16 + 12 = 28