Un fabricante de un producto encuentra que para las primeras 600 unidades que produce y vende, la utilidad es de $40 por unidad. La utilidad por cada unidad producida más allá de 600 disminuye en $0. 05 por cada unidad adicional producida. Por ejemplo, la utilidad total cuando produce y vende 602 unidades es 600(40)+2(39. 90). ¿qué nivel de producción maximizara la utilidad?.
Respuestas
La utilidad máxima se obtiene cuando se producen y se venden 400 unidades por encima del nivel de 600 unidades; es decir, cuando se producen y venden 1000 unidades.
Explicación paso a paso:
La función Utilidad (U) para un nivel de producción (x) superior a 600 unidades y un precio de venta unitario de $40 viene dada por:
U₍ₓ₎ = 600 · (40) + x · [40 - 0.05 · (x)] ⇒
U₍ₓ₎ = 24000 + 40 · x - 0.05 · x²
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos el o los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de U.
U' = 40 - 0.1 · x
U' = 0 ⇒ 40 - 0.1 · x = 0 ⇒ x = 400
Este es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico considerado es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
U'' = -0.1
Tercero, evaluamos la segunda derivada en cada punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
U''(400) < 0 ⇒ x = 400 es un máximo de la función U
La utilidad máxima se obtiene cuando se producen y se venden 400 unidades por encima del nivel de 600 unidades; es decir, cuando se producen y venden 1000 unidades.
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