Respuestas
Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax 2 + bx + c = 0 , donde a, b , y c son números reales.
Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:
Ejemplos:
9x 2 + 6x + 10 = 0 a = 9, b = 6, c = 10
3x 2 – 9x + 0 = 0 a = 3, b = –9, c = 0 (el cero, la c , no se escribe, no está)
–6x 2 + 0x + 10 = 0 a = -6, b = 0 , c = 10 (el cero equis, la b , no se escribe)
Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax 2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes métodos:
Solución por factorización
En toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.
Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.
Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.
Ejemplos
1) Resolver
(x + 3)(2x − 1) = 9
Lo primero es igualar la ecuación a cero.
Para hacerlo, multiplicamos los binomios:
Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:
Ahora podemos factorizar esta ecuación:
(2x − 3)(x + 4) = 0
Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas:
Si
2x − 3 = 0
2x = 3
Si
x + 4 = 0
x = −4
Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas:
(x + 3)(2x − 1) = 9
2x 2 + 5x − 12 = 0
2x 2 + 5x = 12
2x 2 − 12 = − 5x
En todos los casos la solución por factorización es la misma:
2) Halle las soluciones de
La ecuación ya está igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a cero y luego resolver en términos de x :
Ahora, si
x = 0
o si
x− 4 = 0
x = 4
Algunos ejercicios: Resolver cada ecuación por el método de factorización:
Soluciones:
Solución por completación de cuadrados
Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo:
(ax + b) 2 = n
en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b) 2 , es el cuadrado de la suma de un binomio .
Partiendo de una ecuación del tipo
x 2 + bx + c = 0
por ejemplo, la ecuación
x 2 + 8x = 48 , que también puede escribirse x 2 + 8x − 48 = 0
Al primer miembro de la ecuación (x 2 + 8x) le falta un término para completar el cuadrado de la suma de un binomio del tipo
(ax + b) 2
Que es lo mismo que
(ax + b) (ax + b)
Que es lo mismo que
(ax) 2 + 2axb + b 2
En nuestro ejemplo
x 2 + 8x = 48 , el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto, ese número debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el cuadrado de la suma de un binomio ( a 2 + 2ab + b 2 ) el tercer término corresponde al cuadrado del segundo término (4 2 = 16) amplificamos ambos miembros de la ecuación por 16, así tenemos
x 2 + 8x + 16 = 48 + 16
x 2 + 8x + 16 = 64
la cual, factorizando, podemos escribir como sigue:
(x + 4) (x + 4) = 64
Que es igual a
(x + 4) 2 = 64
Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos
Nos queda
x + 4 = 8
Entonces
x = 8 − 4
x = 4
Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la ecuación se logró obtener la expresión (x + 4) 2 , que es el cuadrado perfecto de un binomio.
Respuesta:
ya esta
Explicación paso a paso:
