Question

Dos kilosde peras y tres de manzanas cuentan 7,80 dólares y cinco kilos de peras y cuatro de manzanas cuestan 13,20 dólares cuanto cuesta el kilo de peras y el de manzana?.

Answer 1

El kilo de peras cuesta $1.2 (1.2 dólares)

El kilo de manzanas cuesta $ 1.8 (1.8 dólares)

Solución

Para determinar cuanto cuesta el kilo de peras y el kilo de manzanas debemos establecer las ecuaciones que modelan la situación del problema

Determinándolas con las dos compras que se han efectuado

Luego llamamos variable "x" al precio de un kilo de peras y variable "y" al precio de un kilo de manzanas

Donde sabemos que para una situación se compraron 2 kilos de peras y 3 kilos de manzanas pagando por la compra un total de $ 7.80 dólares

Y conocemos que para la segunda situación se compraron 5 kilos de peras y 4 kilos de manzanas pagando por la compra un total de $ 13.20 dólares

Estamos en condiciones de plantear un sistema de ecuaciones que satisfaga al problema

El sistema de ecuaciones:

Para la primera situación sumamos los 2 kilos de peras y los 3 kilos de manzanas comprados para la primera ecuación y la igualamos a la cantidad abonada

$\large\boxed {\bold {2 x \ +\ 3y = 7.8 }}$     $\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

Luego hacemos el mismo procedimiento para la segunda situación para establecer la segunda ecuación. Donde se compran 5 kilos de peras y 4 kilos de manzanas, y nuevamente se iguala a la cantidad abonada

$\large\boxed {\bold {5x \ + \ 4y = 13.2 }}$       $\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

Luego

En  $\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

$\large\boxed {\bold {2 x \ +\ 3y = 7.8 }}$

Despejamos x

$\boxed {\bold {2 x = 7.8\ -\ 3y }}$

$\textsf{Simplificamos dividiendo los t\'erminos entre 2 }$

$\boxed {\bold { \frac{\not2x}{\not2} = \frac{7.8}{2} -\ \frac{3y}{2} }}$

$\large\boxed {\bold { x = 3.9 -\ \frac{3y}{2} }}$          $\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

Resolvemos el sistema de ecuaciones

Reemplazando

$\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

$\large\boxed {\bold { x = 3.9 -\ \frac{3y}{2} }}$

$\large\textsf {En Ecuaci\'on 2 }$

$\large\boxed {\bold {5x \ + \ 4y = 13.2 }}$

$\boxed {\bold {5 \ . \left(3.9 -\frac{3y}{2} \right) \ +\ 4y = 13.2 }}$

$\boxed {\bold {19.5 -\frac{15y}{2} \ +\ 4y = 13.2 }}$

$\boxed {\bold {19.5 -\frac{15y}{2} \ +\ 4y\ . \ \frac{2}{2} = 13.2 }}$

$\boxed {\bold {19.5 -\frac{15y}{2} \ +\ \frac{8y}{2} = 13.2 }}$

$\boxed {\bold {19.5 -\frac{7y}{2} = 13.2 }}$

$\boxed {\bold { -\frac{7y}{2} = 13.2-19.5 }}$

$\boxed {\bold { -\frac{7y}{2} =-6.3 }}$

$\boxed {\bold { -7y = 2 \ . \ -6.3 }}$

$\boxed {\bold { -7y = -12.6 }}$

$\boxed {\bold { y = \frac{-12.6 }{-7} }}$

$\large\boxed {\bold { y = 1.8 }}$

El precio de un kilo de manzanas es de $ 1.8

Hallamos el precio del kilo de peras

Reemplazando el valor hallado de y en

$\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

$\large\boxed {\bold { x = 3.9 -\ \frac{3y}{2} }}$

$\boxed {\bold { x = 3.9 -\ \frac{3\ . \ 1.8}{2} }}$

$\boxed {\bold { x = 3.9 -\ \frac{5.4}{2} }}$

$\boxed {\bold { x = 3.9 -2.7 }}$

$\large\boxed {\bold { x = 1.2 }}$

El precio de un kilo de peras es de $ 1.2

Verificación

Reemplazamos los valores hallados para x e y en el sistema de ecuaciones

$\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

$\boxed {\bold {2 x \ +\ 3y = 7.8 }}$

$\boxed {\bold { 2 \ kg\ peras \ .\ \ \ 1.2 \ +\ 3 \ kg \ manzanas \ . \ \ \ 1.8 = \ \ 7.8 }}$

$\boxed {\bold {2 \ . \ \ \ 1.2 \ + \ 3 \ . \ \ \ 1.8 = \ \ 7.8}}$

$\boxed {\bold {\ \ 2.4 \ + \ \ \ 5.4 = \ \ 7.8}}$

$\boxed {\bold {\ \ 7.8 = \ \ 7.8 }}$

$\textsf{Se cumple la igualdad }$

$\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

$\boxed {\bold {5 x \ +\ 4y = 13.2 }}$

$\boxed {\bold { 5 \ kg\ peras \ .\ \ \ 1.2 \ +\ 4 \ kg \ manzanas \ . \ \ \ 1.8 = \ \ 13.2 }}$

$\boxed {\bold {5 \ . \ \ \ 1.2 \ + \ 4 \ . \ \ \ 1.8 = \ \ 13.2}}$

$\boxed {\bold {\ \ 6 \ + \ \ \ 7.2 = \ \ 13.2}}$

$\boxed {\bold {\ \ 13.2 = \ \ 13.2 }}$

$\textsf{Se cumple la igualdad }$