Question

halla el centro y el radio de la circunferencia x2 + y2 + 2x - 4y - 4 = 0

Answer 1

Respuesta:

el centro esta en (x, y) = (-1, 2)

r = 3

Explicación paso a paso:

$x^{2} + y^{2} + 2x - 4y - 4 = 0$

Separamos términos y variables

$x^{2} + 2x + xc + y^{2} - 4y + yc = 4$

Para sacar los componentes c, aplicamos la formula $\frac{b}{2} ^{2}$, es decir en vez de xc y yc

$x^{2} + 2x + \frac{2}{2} ^{2} + y^{2} - 4y + \frac{4}{2} ^{2} = 4$

Lo que estamos haciendo es separar en trinomios al cuadrado perfecto

$(x^{2} + 2x + \frac{4}{4} ) + (y^{2} - 4y + \frac{16}{4} ) = 4$

$(x^{2} + 2x + 1 ) + (y^{2} - 4y + 4) = 4$

Pero como nosotros agregamos el 1 y el 4 a la ecuación para completar el trinomio también lo debemos hacer del lado derecho para no afectar la igualdad de la ecuación

$(x^{2} + 2x + 1 ) + (y^{2} - 4y + 4) = 4 + 1 + 4$

Ahora factorizamos los trinomios y sumamos los números del lado derecho

Esto sacando raíz del componente que agregamos en el paso anterior, dejado el signo del medio y poner al cuadrado cada conjunto

$(x^{2} + 1 )^{2} + (y^{2} - 2)^{2} = 9$

Ahora si desarrollas esos binomios te darás cuenta que es lo mismo que lo anterior pero simplificado a la forma canónica de la circunferencia

Ahora esta es la forma canónica de la circunferencia, es decir

$(x^{2} - h )^{2} + (y^{2} - k)^{2} = r^{2}$

Ahora para sacar el centro solo vemos el numero que acomapaña a la x con el signo contrario, es decir

1 y su signo contrario -1

y ahora 'y'

-2 y su signo contrario +2

Por lo tanto el centro esta en (x, y) = (-1, 2)

y su radio se obtiene al aplicar raíz al numero de la derecha de la ecuación en nuestro caso 9

$r^{2} = 9$

$r = \sqrt{9}$

r = 3