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1
entonces la identidad es asi como segun tu lo escribiste:
![\frac{\sec \left(x\right)}{\cot \left(x\right)+\tan \left(x\right)}=\sin \left(x\right) \frac{\sec \left(x\right)}{\cot \left(x\right)+\tan \left(x\right)}=\sin \left(x\right)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%5Csec+%5Cleft%28x%5Cright%29%7D%7B%5Ccot+%5Cleft%28x%5Cright%29%2B%5Ctan+%5Cleft%28x%5Cright%29%7D%3D%5Csin+%5Cleft%28x%5Cright%29)
entonces partiendo de eso ahora la de la izquierda vamos a expresarla en seno y coseno:
![\frac{\frac{1}{\cos \:\left(x\right)}}{\frac{\cos \:\left(x\right)}{\sin \:\left(x\right)}+\frac{\sin \:\left(x\right)}{\cos \:\left(x\right)}} \frac{\frac{1}{\cos \:\left(x\right)}}{\frac{\cos \:\left(x\right)}{\sin \:\left(x\right)}+\frac{\sin \:\left(x\right)}{\cos \:\left(x\right)}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ccos+%5C%3A%5Cleft%28x%5Cright%29%7D%7D%7B%5Cfrac%7B%5Ccos+%5C%3A%5Cleft%28x%5Cright%29%7D%7B%5Csin+%5C%3A%5Cleft%28x%5Cright%29%7D%2B%5Cfrac%7B%5Csin+%5C%3A%5Cleft%28x%5Cright%29%7D%7B%5Ccos+%5C%3A%5Cleft%28x%5Cright%29%7D%7D)
ahora se simplifica aplicando las propiedades de las fracciones:
![\frac{1}{\cos \:\left(x\right)\left(\frac{\cos \:\left(x\right)}{\sin \:\left(x\right)}+\frac{\sin \:\left(x\right)}{\cos \:\left(x\right)}\right)} \frac{1}{\cos \:\left(x\right)\left(\frac{\cos \:\left(x\right)}{\sin \:\left(x\right)}+\frac{\sin \:\left(x\right)}{\cos \:\left(x\right)}\right)}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ccos+%5C%3A%5Cleft%28x%5Cright%29%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Ccos+%5C%3A%5Cleft%28x%5Cright%29%7D%7B%5Csin+%5C%3A%5Cleft%28x%5Cright%29%7D%2B%5Cfrac%7B%5Csin+%5C%3A%5Cleft%28x%5Cright%29%7D%7B%5Ccos+%5C%3A%5Cleft%28x%5Cright%29%7D%5Cright%29%7D)
ahora simplificar:![\left(\frac{\cos \:\left(x\right)}{\sin \:\left(x\right)}+\frac{\sin \:\left(x\right)}{\cos \:\left(x\right)}\right) \left(\frac{\cos \:\left(x\right)}{\sin \:\left(x\right)}+\frac{\sin \:\left(x\right)}{\cos \:\left(x\right)}\right)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Ccos+%5C%3A%5Cleft%28x%5Cright%29%7D%7B%5Csin+%5C%3A%5Cleft%28x%5Cright%29%7D%2B%5Cfrac%7B%5Csin+%5C%3A%5Cleft%28x%5Cright%29%7D%7B%5Ccos+%5C%3A%5Cleft%28x%5Cright%29%7D%5Cright%29)
quedaria:![\frac{\cos ^2\left(x\right)+\sin ^2\left(x\right)}{\cos \left(x\right)\sin \left(x\right)} \frac{\cos ^2\left(x\right)+\sin ^2\left(x\right)}{\cos \left(x\right)\sin \left(x\right)}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%5Ccos+%5E2%5Cleft%28x%5Cright%29%2B%5Csin+%5E2%5Cleft%28x%5Cright%29%7D%7B%5Ccos+%5Cleft%28x%5Cright%29%5Csin+%5Cleft%28x%5Cright%29%7D)
entonces ahora completo:![\frac{1}{\cos \:\:\left(x\right)\:\frac{\cos \:^2\left(x\right)+\sin \:^2\left(x\right)}{\cos \:\left(x\right)\sin \:\left(x\right)}} \frac{1}{\cos \:\:\left(x\right)\:\frac{\cos \:^2\left(x\right)+\sin \:^2\left(x\right)}{\cos \:\left(x\right)\sin \:\left(x\right)}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ccos+%5C%3A%5C%3A%5Cleft%28x%5Cright%29%5C%3A%5Cfrac%7B%5Ccos+%5C%3A%5E2%5Cleft%28x%5Cright%29%2B%5Csin+%5C%3A%5E2%5Cleft%28x%5Cright%29%7D%7B%5Ccos+%5C%3A%5Cleft%28x%5Cright%29%5Csin+%5C%3A%5Cleft%28x%5Cright%29%7D%7D)
Ahora eliminar terminos comunes quedaria asi:
![\frac{1}{\frac{\cos ^2\left(x\right)+\sin ^2\left(x\right)}{\sin \left(x\right)}} \frac{1}{\frac{\cos ^2\left(x\right)+\sin ^2\left(x\right)}{\sin \left(x\right)}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cfrac%7B%5Ccos+%5E2%5Cleft%28x%5Cright%29%2B%5Csin+%5E2%5Cleft%28x%5Cright%29%7D%7B%5Csin+%5Cleft%28x%5Cright%29%7D%7D)
Ahora aplicar las propiedades de fracciones:
![\frac{\sin \:\left(x\right)}{\cos \:^2\left(x\right)+\sin \:^2\left(x\right)} \frac{\sin \:\left(x\right)}{\cos \:^2\left(x\right)+\sin \:^2\left(x\right)}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%5Csin+%5C%3A%5Cleft%28x%5Cright%29%7D%7B%5Ccos+%5C%3A%5E2%5Cleft%28x%5Cright%29%2B%5Csin+%5C%3A%5E2%5Cleft%28x%5Cright%29%7D)
Entonces:
![\cos \:^2\left(x\right)+\sin \:^2\left(x\right)=1
\cos \:^2\left(x\right)+\sin \:^2\left(x\right)=1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ccos+%5C%3A%5E2%5Cleft%28x%5Cright%29%2B%5Csin+%5C%3A%5E2%5Cleft%28x%5Cright%29%3D1%0A%0A)
Entonces quedaria el resultado asi:
![\frac{\sin \left(x\right)}{1 }= \sin \left(x\right) \frac{\sin \left(x\right)}{1 }= \sin \left(x\right)](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B%5Csin+%5Cleft%28x%5Cright%29%7D%7B1+%7D%3D++%5Csin+%5Cleft%28x%5Cright%29)
Ambos lados pueden tomar la misma forma entonces es verdadera la identidad.
entonces partiendo de eso ahora la de la izquierda vamos a expresarla en seno y coseno:
ahora se simplifica aplicando las propiedades de las fracciones:
ahora simplificar:
quedaria:
entonces ahora completo:
Ahora eliminar terminos comunes quedaria asi:
Ahora aplicar las propiedades de fracciones:
Entonces:
Entonces quedaria el resultado asi:
Ambos lados pueden tomar la misma forma entonces es verdadera la identidad.
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