Question

el 14° termino de una progresion aritmetica es 26 y la suma de los primero 6 terminos es -33. halle la suma de los primeros 10 terminos de la progresion

Answer 1

Progresión Aritmética: Progresión en que la diferencia entre sus términos es constante.

Una progresión aritmética se puede representar como: an + k, donde a representa la diferencia constante entre cada término, n el término de la progresión y k es una constante. Siendo a, n, k números reales.

Sabiendo que el 14° término de la progresión es 26 se tiene que:
$14a+k=26$

Sabiendo que la suma de los primeros seis términos de la progresión es -33 se tiene que:
(a+k) + (2a+k) + (3a+k) + (4a+k) + (5a+k) + (6a+k) = -33

Simplificando la segunda ecuación se obtiene:
$21a + 6k = -33$

Se resuelve el sistema de ecuaciones empleando el método de suma y resta
$\left \{ {{14a+k} \atop {21a+6k=-33}} \right.$

Se igualan las dos ecuaciones multiplicando por seis la primera para obtener el mismo coeficiente de k en ambas ecuaciones:
$\left \{ {{84a+6k=156} \atop {21a+6k=-33}} \right.$

Se le resta la segunda ecuación a la primera, quedando:
$63a=189$
$a=189/63=3$

Se sustituye el valor de a en cualquiera de las dos ecuaciones originales
$14(3)+k=26$
$42+k=26$
$k=26-42=-16$

Se obtienen que la progresión está determinada por la función:
$3n-16$

Para calcular la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética se puede utilizar la siguiente función:
$Sₓ=((a₁+aₓ)x)/2$

Donde Sₓ es la suma de los primeros x términos, a₁ es el primer término de la sucesión, aₓ es el último término de la suma y x es la diferencia entre cada término, quedando:
$Sₓ=(10(-13+14))/2=5$

La suma de los primeros 10 términos de la progresión $3a-16$ es $5$