Question

HALLAR . BH/12 . SI : AB = 15 , BC = 20​

Answer 1

Respuesta:

BH/12 = 1

Explicación paso a paso:

NOTA: Los segmentos los expreso entre paréntesis, porque este editor no tiene la rayita que se pone encima de las letras. Pilas con eso.

Si ABC es triángulo rectángulo y BH es la altura, perpendicular a la hipotenusa AC, Entonces se forman dos triángulos rectángulos que comparten el lado BH. Esos triángulos son AHB y BHC.

Empecemos trabajando con el triángulo ABC, pues tenemos los datos del cateto AB que mide 15, y del cateto BC que mide 20. Podemos entonces calcular la medida de la hipotenusa AC, aplicando el Teorema de Pitágoras:

$(AC)^{2}=15^{2}+20^{2}\\(AC)^{2}=225+400\\(AC)^{2}=625\\AC=\sqrt{125}\\AC=25$

La gráfica del ejercicio nos muestra que el segmento AC=AH+HC.   Pero ya sabemos que AC mide 25; entonces planteamos:

25=AH+HC, por tanto: AH=25-HC y HC=25-AH

Centrémonos ahora en el triángulo AHB. Su hipotenusa AB mide 15; su cateto AH, mide 25-HC. Busquemos entonces la expresión que nos diga el valor del cateto BH, mediante la aplicación del teorema de Pitágoras:

$15^{2}=(BH)^{2}+(25-HC)^{2}$

Hagamos las operaciones y despejemos luego $(BH)^{2}$ Hay que desarrollar también el binomio al cuadrado (resta) que está al lado derecho.

$225=(BH)^{2}+625-50HC+(HC)^{2}\\-400+50HC-(HC)^{2}=(BH)^{2}$

Ahora enfoquémonos en el triángulo BHC, para encontrar también la expresión que nos diga el valor del cateto BH. Aplicamos igualmente el teorema de Pitágoras:

$20^{2}=(BH)^{2}+(HC)^{2}$

$400=(BH)^{2}+(HC)^{2} \\(BH)^{2}=400-(HC)^{2}$

Tenemos entonces dos expresiones que son iguales a $(BH)^{2}$, lo cual nos permite igualarlas entre sí:

$-400+50HC-(HC)^{2}=400-(HC)^{2}$

Podemos cancelar los $(HC)^{2}$ porque al pasar al otro lado cambian el signo y se suprimen. Entonces nos queda:

50HC=400+400

50HC=800

HC=800/50

HC=16

Si ya habíamos encontrado que AC=25 y ahora tenemos que HC=16, podremos saber cuánto mide AH, simplemente haciendo la resta:

AH=25-16 = 9

Ahora podemos calcular BH, con cualquiera de los dos triángulos. Procedamos con AHB y el Teorema de Pitágoras nuevamente.

$15^{2} =9^{2}+(BH)^{2}\\225=81+(BH)^{2}\\(BH)^{2}=225-81\\BH=\sqrt{144}\\BH=12$

Esa es la altura, pero la pregunta dice: "halla BH/12"

Entonces: 12/12 = 1. Esa es la respuesta