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Hola, Martin0108:
➤ EJERCICIO
Si a + a⁻¹ = 1, halla a⁶ + a⁻⁶
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➤ SOLUCIÓN
Partimos del dato que nos da el enunciado:
a + a⁻¹ = 1
Las fórmulas para calcular el cubo de un binomio son:
(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³
(A + B)³ = A³ + 3AB(A + B) + B³ ✔️
Elevamos al cubo los 2 miembros de la expresión dada, usando la segunda fórmula, donde:
• A = a
• B = a⁻¹
Nos queda:
a³ + 3a(a⁻¹)(a + a⁻¹) + (a⁻¹)³ = 1³
El producto de a y a⁻¹ da 1, ya que:
a
a . a⁻¹ = ——— = 1
a
Además, según el enunciado del ejercicio, sabemos que:
a + a⁻¹ = 1
Reemplazando, nos queda:
a³ + 3 · 1 · 1 + (a⁻¹)³ = 1
a³ + 3 + (a⁻¹)³ = 1
Pasamos el 3 restando al segundo miembro, pues en el primero está sumando:
a³ + (a⁻¹)³ = 1 – 3
Restamos:
a³ + (a⁻¹)³ = –2
Para resolver una potencia de potencia se multiplican los exponentes:
a³ + a⁻³ = –2
Ahora elevamos los 2 miembros al cuadrado, usando la fórmula para calcular el cuadrado de un binomio:
(A + B)² = A² + 2AB + B²
donde:
• A = a³
• B = a⁻³
Nos queda:
(a³)² + 2a³a⁻³ + (a⁻³)² = (–2)²
El producto de a³ y a⁻³ da 1, ya que:
a³
a³ . a⁻³ = ——— = 1
a³
Simplificando, queda:
(a³)² + 2 + (a⁻³)² = (–2)²
Resolvemos las potencias de potencias multiplicando los exponentes:
a⁶ + 2 + a⁻⁶ = 4
Pasamos el 2 restando al segundo miembro, ya que en el primero está sumando:
a⁶ + a⁻⁶ = 4 – 2
Resolvemos la resta:
a⁶ + a⁻⁶ = 2
Hemos llegado al resultado buscado:
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a⁶ + a⁻⁶ = 2 ✔️
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Saludos. ✨
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