Question

dado los 2000 primeros números enteros positivos, indicar :cuántos número son múltiplos de 4 y de 6?​

Answer 1

Respuesta:

166.

Explicación paso a paso:

I={x∈Z^+:x≤2000}

A={x∈I: existe k∈Z: x=4k}

B={x∈I: existe k∈Z: x=6k}

Se trata es de hallar n(A∩B).

Sea x∈A∩B, luego existe k∈Z: x=4k y existe k∈Z: x=6k, por ejemplificación del existencial, x=4k y x=6m, entonces 2k=3m, luego, 2 divide a m, m=2n con n en los entero, k=3n, x=12n y como x está en I, 12n≤2000, n≤166. Luego x∈{12,24,...,1992} donde el i-ésimo elemento de {12,24,...,1992} es de la forma 12i y i es un entero mayor o igual a 1 y menor o igual a 166. Por otra parte si x está en x∈{12,24,...,1992} donde el i-ésimo elemento de {12,24,...,1992} es de la forma 12i y i es un entero mayor o igual a 1 y menor o igual a 166, luego x es menor a 2000 y es entero positivo y es múltiplo de 4 y 6, luego x está en A∩B. Luego, A∩B={12,24,...,1992} donde el i-ésimo elemento de {12,24,...,1992} es de la forma 12i y i es un entero mayor o igual a 1 y menor o igual a 166. Por lo tanto, n(A∩B)=166.