Question

Determine la ecuación general de la circunferencia cuyo centro es el foco derecho de la elipse 3x2+2y2−6x+12y+15=0 y su radio es igual a la medida del lado recto de la elipse

Answer 1

La ecuación general de la circunferencia es

$\bold{3x^{2}+~3y^{2}~-~6x~+~12y~-~1~=~0}$

Explicación paso a paso:

Trabajemos con la elipse para hallar el centro y el radio de la circunferencia.

Completando cuadrados

3x²  +  2y²  −  6x  +  12y  +  15  =  0          ⇒      

3(x²  -  2x)  +  2(y²  +  6y)  +  15  =  0          ⇒  

3[(x  -  1)²  -  1]  +  2[(y  +  3)²  -  9]  +  15  =  0          ⇒  

$\bold{\dfrac{(y~+~3)^{2}}{3}~+~\dfrac{(x~-~1)^{2}}{2}~=~1}$

Ecuación Canónica de la Elipse de eje mayor vertical:

$\bold{\dfrac{(y~-~k)^{2}}{a^{2}}~+~\dfrac{(x~-~h)^{2}}{b^{2}}~=~1}$

 

Centro (C): (h, k)  

a = distancia del centro (C) a los vértices (V) sobre el eje mayor  

b = distancia del centro (C) a los vértices (A) sobre el eje menor

El centro de la circunferencia es el foco derecho de la elipse y el radio es la longitud del lado recto. Necesitamos calcular la distancia centro foco (c).

a²  =  b²  +  c²         ⇒        c²  =  a²  -  b²         ⇒        

c²  =  (3)  -  (2)        ⇒        c  =  1

foco  =  (h, k + c)  =  (1, -3 + 1)  =  (1, -2)  =  centro de la circunferencia

 

Lado Recto Elipse =  Radio de la circunferencia (r)  =  2b²/a

$\bold{r~=~\dfrac{2\cdot(2)}{\sqrt{3}}~=~\dfrac{4\cdot\sqrt{3}}{3}}$

Ecuación Canónica de la circunferencia:

$\bold{(x~-~h)^{2}~+~(y~-~k)^{2}~=~r^{2}}$

 

Centro (C)  =  (h, k)  

r  =   radio de la circunferencia

Sustituimos los valores y desarrollamos para hallar la ecuación general:

$\bold{(x~-~1)^{2}~+~(y~+~2)^{2}~=~(\dfrac{4\cdot\sqrt{3}}{3})^{2}\qquad\Rightarrow}$

$\bold{x^{2}~-~2x~+~1~+~y^{2}~+~4y~+~4~=~\dfrac{16}{3}\qquad\Rightarrow}$

$\bold{x^{2}+~y^{2}~-~2x~+~4y~-~\dfrac{1}{3}~=~0\qquad\Rightarrow}$

La ecuación general de la circunferencia es

$\bold{3x^{2}+~3y^{2}~-~6x~+~12y~-~1~=~0}$